ガロア理論による可解方程式の解法技術

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【1-4】ガロア群 \(Gal(Q(v)/Q)\) の確認

実は、単拡大 \(Q(v)\) は、基礎体 \(Q\) のガロア拡大なんです。ガロア理論によれば、ガロア拡大体には \(g_0(x)\) の共役根を互いに変換する自己同型写像が存在するはずです。そこで、自己同型写像の候補として天下り的ですが(1.6)を参考にして、(4.1)の \(\{\rho_1,\rho_2\}\) を考える事にします。 \(\rho_i\) の写像の対象はあくまでも \(v\) です。

\begin{align} & \rho_{1}(v) \equiv v_1= v & &\rho_{2}(v) \equiv v_2= -v-3 \\ \end{align}

もし \(\{\rho_1,\rho_2\}\) が \(g_0(x)\) の同型写像だとすると群を構成しているはずです。その為に以下の3つの表を作成します。

(1) 写像 \(\{\rho_1,\rho_2\}\) が群をなすかの確認のために、 \(\rho_i \circ \rho_j = \rho_k\) の積表【表1-1】を作成する。
(2) 写像が共役元同士をどの様に写像させるか \(\rho_i(v_j)=v_k\) の変換表【表1-2】を作成する。
(3) 写像が \(\{\alpha,\beta\}\) に対してどの様に作用するか変換表【表1-3】を作成する。

(1)(2)(3)の計算例を以下に示します。

\begin{align} (1) \quad &\rho_2 \circ \rho_2=\rho_1 \\ &\rho_2 \circ \rho_2(v)=\rho_2 (\rho_2(v))=\rho_2 (v_2)= \rho_2 ( -v-3 )=-(-v-3)-3=v=v_1=\rho_1(v) \notag \\ \notag \\ (2) \quad &\rho_2(v_2)=v_1 \\ &\rho_2 (v_2)= \rho_2 ( -v-3 )=-\rho_2 (v)-\rho_2 (3 )=-(-v-3)-3=v=v_1 \notag \\ \notag \\ (3)\quad &\rho_2 (\beta)=\alpha \\ &\rho_2(\beta)=\rho_2(v+1)=\rho_2(v)+\rho_2(1)=-v-3+1=-v-2=\alpha \notag \\ \end{align}

　全ての組み合わせを上記の例にならって計算します。まとめると以下の様な表が出来ます。

【表1-1】 \(\rho_i \circ \rho_j\) 積表
\( \ \)	\(\rho_1\)	\(\rho_2\)
\(\rho_1\)	\(\rho_1\)	\(\rho_2\)
\(\rho_2\)	\(\rho_2\)	\(\rho_1\)

【表1-2】 \(\rho_i(v_j)\) 変換表
\( \ \)	\(\rho_i(v_1)\)	\(\rho_i(v_2)\)
\(\rho_1\)	\(v_1\)	\(v_2\)
\(\rho_2\)	\(v_2\)	\(v_1\)

【表1-3】 \(\rho_i \) 置換操作表
\( \ \)	\(\rho_i(\alpha)\)	\(\rho_i(\beta)\)
\(\rho_1\)	\(\alpha\)	\(\beta\)
\(\rho_2\)	\(\beta\)	\(\alpha\)

(1)　写像 \(\rho_i\)は【表1-1】より、位数2の巡回群 \(C_2\) をなしている。
(2)　写像 \(\rho_i\)は【表1-2】より判るように、 \(g_0(x)\) の共役元同士を \(\{v_1,v_2\}\) に互いに写像している。
(3)　写像 \(\rho_i\)は【表1-3】より、\(\{\alpha,\beta\}\) に対して対称群 \(S_2\) と同じ置換をしている。
（ \(\rho_i\) は関数のような形をしています。いかにも写像という気分になりませんか？）

上記(1)(2)(3)より、自己同型写像の候補として考えた \(\{ \ \rho_1,\rho_2 \ \}\) は、正式にガロア群 \(Gal(Q(v)/Q)\) 自己同型写像の元と考えてよいことになります。ガロア群は \(Gal(Q(v)/Q) \cong C_2\) なのでの組成列は以下の様になります。

\begin{align} \biggl[ \ C_2 \ \rhd \ e \ \biggr] \ : \ Composition \ series \ of \ Galois \ group \ C_2 \notag \\ \end{align}

【1-5】\(f(x)\) の根を求める

この節から、ガロア理論を使った計算が始まります。詳しい説明はしませんが、計算は高校数学の計算レベルなので、 論理の展開や計算の雰囲気を味わってもらえば十分です。より高次の方程式も全く同じ計算です。

体を拡大する計算過程は、いつも以下の3段階に分けると考えやすくなります。

(5.1)で2つの多項式 \(\{h_0,h_1\}\) を定義します。更に、(5.2)で \(\{h_0,h_1\}\) から、新たな2つの多項式 \(\{t_0,t_1\}\) への変換式を考えます。 (5.2)の \(t_1\) は、"Lagrange Resolvent"と呼ばれる形式になっていますので、今後このサイトでは、 (5.2)の様な変換式を"LRT(Lagrange Resolvent Transformation)"と呼ばせてもらう事にします。

Step1 LRT(Lagrange Resolvent Transformation)
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} h_0 \equiv \rho_1(x-v)= x-v_1 \\ h_1 \equiv \rho_2(x-v)= x-v_2 \end{array} \right. \qquad \qquad h_0, \ h_1 \ \in \ Q(v)[x]\\ \notag \\ &\begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \end{bmatrix} \equiv \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{(h_0+h_1)}{2} \\ \frac{(h_0-h_1)}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+\frac{3}{2} \\ -v-\frac{3}{2} \end{bmatrix} \end{align}

(5.2)の2つの多項式 \(\{t_0,t_1\}\) の性質を見てみます。【表1-2】を参考にすると簡単に確かめられます。

\begin{align} \rho_1(t_0)&=t_0, \quad \rho_2(t_0)=t_0 & &\therefore t_0 \ \in \ Q[x] \\ \rho_1(t_1)&=t_1, \quad \rho_2(t_1)=-t_1 & &\therefore t_1 \ \notin \ Q[x] \\ \end{align}

(5.3)(5.4)の様に \(t_0\) は\(\{\rho_1,\rho_2\}\) の置換操作を受けても不変ですが、 \(t_1\) は \(\rho_2\) の置換操作を受けると \(-1\) が付いてしまいます。しかし、\(\rho_2(t_1^2)=\rho_2(t_1) \cdot \rho_2(t_1)=(-t_1) \cdot (-t_1) =t_1^2\) ですから、 \(t_1^2\) は \(\rho_2\) の置換操作を受けても不変となります。従って \(t_1^2\) は基礎体 \(Q\) の"数"である事が判ります。
実際に \(t_1^2\) を計算してみると、下記の様に \(Q\) の数となります。そこでその値を \(A_0\) とします。

\begin{align} t_1^2&=\bigl(-v-\frac{3}{2} \bigr)^2=v^2+3v+\frac{9}{4}=-\frac{3}{4} \equiv A_0 \in Q \quad (mod \ g_0(v)) \notag \\ \therefore t_1^2&=A_0 \\ \end{align}

(5.5)をみると \(t_1\)は、(5.6)の二項方程式 \(B_0(x)\) の2乗根 \(\sqrt{A_0}\) である事が判ります。そこで \(\sqrt{A_0} \equiv a_0\) と言う冪根を導入して、\(a_0\) を基礎体 \(Q\) に添加する事により拡大体 \( Q(a_0) \) を構成する事が出来ます。

\begin{align} B_0(x)&=x^2-A_0 =0 \quad \ \therefore \ t_1= \sqrt{A_0}=\frac{\sqrt{-3}}{2} \equiv a_0\\ \end{align}

Step2　二項方程式 \(B_0(x)\) と新たな添加数 \(a_0\) の生成
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} t_0 \ \in \ Q[x] \\ t_1 \ \in \ Q(v) \end{array} \right. \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} B_0(x)=x^2-A_0=0 \qquad t_1^2=A_0=-\frac{3}{4} \in Q \\ a_0=\sqrt{A_0} \ \in \ Q(a_0) \equiv Q_1 \\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}

新たな数 \(a_0\) を導入する事により \(t_1\) は拡大体 \(Q(a_0)\) の数と定義できます。そこで \(Q(a_0)\) を \(Q_1\) と表記します。体が拡大したので、(5.7)の様に拡大する前の \(t_1\) と区別するために、敢えて \(\tilde{t_1}\) と表現を変えております。

\begin{align} t_1 \quad &\Rightarrow \quad \tilde{t_1} \equiv a_0 \quad \in Q(a_0) \equiv Q_1 \\ \end{align}

step2で求められた \(\{ \ t_0, \tilde{t_1}\}\) を使って、LRTの逆変換ILRTの(5.8)を計算する事により、新たな \(\{ \ \tilde{h_0}, \tilde{h_1}\}\) を求める事が出来ます。（注）\(\{ \ \tilde{h_0}, \tilde{h_1}\}\) は \(t_0\) と\(\tilde{t_1}\) の線形結合なので、"チルダ"をつけております。

Step3 ILRT(Inverse Lagrange Resolvent Transformation)
\begin{align} &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+\frac{3}{2}+a_0\\ x+\frac{3}{2}-a_0 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_0(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \ \in \ Q[x] \\ g_1(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ Q_1[x] \end{array} \right. \\ \end{align}

元々 \(h_0\) は因子 \((x-v)\) を含んでいます。そこで \( \tilde{h_0}\) も \((x-v)\) の因子を含んでいるはずです。
そこで、 \(\tilde{h_0} \equiv g_1(x)\) として、\(g_1(x)\)を拡大体 \(Q_1\) 上での \(v\) の最小多項式とします。
\(g_1(x)=0\) は一次方程式なので簡単に根が求められ、その根が最終的に求める \(v\) の値となります。

\begin{align} &g_1(x)=x+\frac{3}{2}+a_0 \quad \Rightarrow \quad v=-\frac{3}{2}-a_0 \\ \end{align}

(5.9)で \(v\) の値が決まりました。従って、その値を(3.11)の \(\{ \ \alpha,\beta \ \}\) に代入すれば、 \(f(x)\) の2根を求める事が出来ます。 \(a_0\) の体は(5.6)で与えられているので、下記 \(\alpha\) はよく知られた1の原始3乗根 \(\omega\) ですね。

\begin{align} a_0=\frac{\sqrt{-3}}{2} \quad \rightarrow \quad \alpha=-v-2=-\frac{1}{2}+a_0, \quad \beta=v+1=-\frac{1}{2}-a_0 \\ \end{align}

理論はひとまず横に置いておいておき、上記の計算手順に従えば全ての可解方程式は解けます。

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