ガロア理論による可解方程式の解法技術

目次
【第1章】	爆速ガロア流方程式解法の習得	\(C_2\)	\(x^2+x+1\)	2頁
【第2章】	ガロア理論の全てが凝縮	\( S_3 \)	\(x^3+3x+1 \)	9頁
【第3章】	凄く疲れます　巡回拡大満載！	\( S_4 \)	\(x^4+4x+2 \)	13頁
【第4章】	超クール！　魔法の計算法：終結式	\(A_3\)	\(x^3-3x+1\)	4頁
【第5章】	恐怖の因数分解：Trager Algorithm	\( A_3\)	\(x^3-3x+1 \quad (gcd)\)	5頁
【第6章】	大学入試にも顔を出す巡回多項式の解法	\( C_4 \)	\(x^4+x^3+x^2+1 \)	3頁
【第7章】	ガロア流円分多項式 \(\Phi_{17}(x)\) の解法	\( C_{16} \)	\(x^{16}+x^{15}+...+x^2+x+1\)	6頁
【第8章】	群論問題の宝庫　Frobenius群	\( F_{20} \)	\(x^5+x^4+2x^3+4x^2+x+1\)	10頁
【第9章】	ん!?　ガロア流方程式解法の破綻か？	?,?	\(x^3-2, \ x^5-5x^3+5x+6 \)	5頁

（超最短コース：第1章）、(最短コース：第2章、第4章、第5章)、（終結式コース：第4章、第5章、第9章）

◆ 本サイトのページ移動に関して

(1) 上記目次の【第**章】等の文字をクリックすると、その章の先頭に移動できます。

(2) 各ページの右上と解説文の左下にある ⇦ home ⇨ のそれぞれをクリックすると、
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(3) 各ページの上部の薄緑の枠の中にある2つの▶の役割は以下の通りです。
・▶ Page 1,2,3,..,n　は数字をクリックするとそのページに移動できます。
・▶ Sample Program　をクリックすると該当する章の解法計算のmaximaプログラムが
PDF形式で新たなタブが開かれます。但し、素人が作成した極めて素朴なプログラムです。その点はご容赦を。

◆ 本サイトの目標

ひょっとして、皆さんはガロア理論の解説で、「定理、証明、定理、証明」の連続で、ウンザリしていませんか？
このサイトの特徴は、定理・証明は一切ありません。
本サイトの目標は、ガロアが考えた方程式の解法技術を習得することです。

解法技法の習得には、代数計算ソフトを使って、自分で計算する事が重要です。解説を見ながらでも構いませんので、是非自分でも計算してみてください。そして自分の計算結果と解説文と比較して答え合わせをしてください。
その為に本サイトは、出来るだけ計算過程を省略せず記述したつもりです。そうすればガロア理論の定理の意味が「じわーっ」と実感出来るようになると思います。

ガロア流方程式の解法技術を習得して、気楽に方程式を解けるようになったら楽しくないですか？

◆ 本サイトより抜粋

方程式の解法技術はたったこれだけです！（第1章）

\begin{align} &f(x)=x^2+x+1 \quad v \equiv \alpha+2\beta \notag \\ \notag \\ &V(x) \equiv (x-v_{1})(x-v_{2})=g_0(x) \notag \\ &P_\alpha(x)=V(x) \bigl(\frac{\alpha }{x-{v_1}}+\frac{\beta }{x-{v_2}} \bigr) \notag \\ &\alpha=\frac{ P_\alpha(v_1)}{(v_1-v_2)} \notag \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} h_0 = (x-v_1) \\ h_1 = (x-v_2) \\ \end{array} \right. \notag \\ &\begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \end{bmatrix} \equiv \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \end{bmatrix} \notag \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} B_0(x)=x^2-A_0=0 \\ t_1^2=A_0=-\frac{3}{4} \\ a_0=\sqrt{A_0} \ \in Q_1 \\ \end{array} \right. \notag \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g_1(x) \\ t_0- \tilde{t_1} \end{bmatrix} \notag \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} g_1(x)=0 \ \rightarrow \ v=-\frac{3}{2}-a_0 \\ \therefore \alpha=-v-2=-\frac{1}{2}+a_0 =\omega \end{array} \right. \notag \\ \end{align}

Trager Algorithm 複雑なので色付けしました（第5章）

\begin{align} &f(x)=x^3-3x+1 \quad g(v)=v^3-9v-9 \notag \\ \notag \\ &Res(f(x+v) ,g(v),v) \notag \\ &=-(x^3-21x+37)(x^3-12x-8)(x^3-3x+1) \notag \\ \notag \\ \end{align}

\begin{align} Res&(f(x+v), g(v),v) \notag \\ =(-1)& \left\{\bbox[#FFFF00]{ (x+v_1-\alpha) }\bbox[#7FFF00]{(x+v_1-\beta)}\bbox[#00FFFF]{(x+v_1-\gamma)} \right \} \notag \\ \times &\left\{\bbox[#00FFFF]{ (x+v_4-\alpha)}\bbox[#FFFF00]{ (x+v_4-\beta)}\bbox[#7FFF00]{(x+v_4-\gamma)} \right \} \notag \\ \times &\left\{\bbox[#7FFF00]{(x+v_5-\alpha)}\bbox[#00FFFF]{(x+v_5-\beta)}\bbox[#FFFF00]{ (x+v_5-\gamma)} \right \} \notag \\ \notag \\ =(-1)& \left\{ \bbox[#FFFF00]{(x+v_1-\alpha)(x+v_4-\beta)(x+v_5-\gamma)} \right \} \notag \\ \times &\left\{\bbox[#7FFF00]{(x+v_1-\beta)(x+v_4-\gamma)(x+v_5-\alpha)} \right \} \notag \\ \times &\left\{\bbox[#00FFFF]{(x+v_1-\gamma)(x+v_4-\alpha)(x+v_5-\beta)} \right \} \notag \\ \notag \\ =(-1)& \cdot\bbox[#FFFF00]{H_1} \cdot \bbox[#7FFF00]{H_2} \cdot \bbox[#00FFFF]{H_3} \notag \\ \notag \\ \end{align}

\begin{align} &f(x+v) \notag \\ &=\bbox[#FFFF00]{(x+v-\alpha)} \cdot \bbox[#7FFF00]{(x+v-\beta)} \cdot \bbox[#00FFFF]{(x+v-\gamma)} \notag \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} GCD\bigl(\left. \bbox[#FFFF00]{H_1} \right|_{v_1=v} \ ,f(x+v)\bigr)= \bbox[#FFFF00]{(x+v-\alpha)}=Y_1 \\ GCD\bigl(\left. \bbox[#7FFF00]{H_2} \right|_{v_1=v} \ ,f(x+v)\bigr)= \bbox[#7FFF00]{(x+v-\beta)}=Y_2 \\ GCD\bigl(\left. \bbox[#00FFFF]{H_3} \right|_{v_1=v} \ ,f(x+v)\bigr)= \bbox[#00FFFF]{(x+v+\gamma)}=Y_3 \\ \end{array} \right. \notag \\ \notag \\ \end{align}

\begin{align} f(x)&=Y_1(x-v) \cdot Y_2(x-v) \cdot Y_3(x-v) \notag \\ &=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \notag \\ \end{align}

巡回拡大と組成列（第8章）

◆ 参考にさせていただいたサイトの紹介

・lemniscus氏　再帰の反復blog　「方程式からガロア理論」　https://lemniscus.hatenablog.com/entry/20120527/1338129004
・井汲景太氏　「方程式のガロア群の求め方五次元世界の冒険」　https://ikumi.que.jp/blog/archives/252
・「退職後は素人数学者」氏　「可解な代数方程式のガロア理論に基づいた解法」
https://ikumi.que.jp/blog/wp-content/uploads/2019/09/galois-solution-ver2.pdf
・jurupapa氏　「Maxima で綴る数学」https://maxima.hatenablog.jp/entry/2017/10/21/113926

上記４つのサイトの著者の方々は、私の全く知らない世界へ導いてくださった恩人です。上記サイトの説明を読んで実際に自分で計算してみることによって、ガロア理論の数々の定理や用語の関連が初めて結びつきました。