ガロア理論による方程式の解法技術

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【6-1】巡回方程式とその因数分解　

「巡回方程式」は過去の日本の大学入試で度々取り上げられている興味深い方程式です。
下記の参考文献「ガロアを読む」（倉田令二朗著）によりますと、以下の性質を持っている多項式を「巡回多項式」と言うそうです。

　　 \(f(x)\) を有理数体 \(Q\) 上のn次の既約多項式とします。\(f(x)=0\) の1つの根を \(a\) としたとき、
　　他の(n-1)個の根は、\(a\) の多項式で書ける場合の \(f(x)\) を巡回多項式と言う。

上の定義からすれば、基礎体 \(Q\) に \(f(x)=0\) の根 \(a\) を添加した拡大体 \(Q(a)\) も \(f(x)\) の最小分解体になっているはずです。即ち「 \(f(x)\) の根 \(a\) が、原始元 \(v\) の役目もはたしてている」という事になります。すると原始元 \(v\) の最小多項式 \(g(x)\) に対応するものはなにか？　と言いますと、「 \(f(x)\) そのものが \(a\) の最小多項式だ」という事になります。

そこで、\([ \ p=f(x), q=f(a) \ ]\) とした時、代数体　\(Q(a)\) の中で、\(f(x)\) を因数分解してみます。
以下は、代数計算ソフトmaximaの命令 \(factor(p,q)\) で計算した結果です。

◆ 3次方程式

\begin{align} f(x)&=x^3-3x-1=0 \qquad (井汲景太氏が取り上げた方程式) \\ &factor(p,q)= (x-a)(x+a^2-2)(x-a^2+a+2) \notag \\ \notag \\ f(x)&= x^3-3x+1=0 \\ &\qquad (【例題2】、1970年東北大学文系、1997年早稲田大学理工学部) \notag \\ & factor(p,q)=(x-a)(x-a^2+2)(x+a^2+a-2) \notag \\ \notag \\ f(x)&= x^3+3x^2-1=0 \qquad(1990年東大文系) \\ &factor(p,q)=(x-a)(x-a^2-2a+2)(x+a^2+3a+1) \notag \\ \notag \\ f(x)&= x^3+x^2-2x-1=0 \qquad(1997年東京都立大) \\\ & factor(p,q)=(x-a)(x-a^2+2)(x+a^2+a-1) \notag \\ \end{align}

◆ 4次方程式

\begin{align} f(x)&= x^4+2x^2-4x+2=0 \\ &factor(p,q)=\frac{1}{9}(x-a)(x+a^3+a^2+3a-2)\notag \\ &\qquad \qquad \times (3x-4a^3-2a^2-9a+10)(3x+a^3-a^2+3a-4)\notag \\ \notag \\ f(x)&= x^4-4x^2+2=0 \qquad (1997年早稲田大学理工学部) \\ &factor(p,q)=(x-a)(x+a)(x-a^3+3a)(x+a^3-3a) \notag \\ \end{align}

◆ 5次方程式

\begin{align} f(x)&= x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1=0 \\ &factor(p,q)=(x-a)(x-a^2+2)(x-a^3+3a) \notag \\ &\qquad \qquad \times (x-a^4+4a^2-2)(x+a^4+a^3-3a^2-2a+1) \notag \\ \notag \\ f(x)&= x^5-10x^3+5x^2+10x+1=0 \\ &factor(p,q)=\frac{1}{2401}(x-a)(7x-4a^4+2a^3+39a^2-36a-22)\notag \\ &\qquad \qquad\times (7x-a^4-3a^3+8a^2+19a-9) \notag \\ &\qquad \qquad \times (7x+2a^4-a^3-23a^2+18a+25)\notag \\ &\qquad \qquad \times (7x+3a^4+2a^3-24a^2+6a+6)\notag \\ \end{align}

◆ 6次方程式

\begin{align} f(x)&= x^6+x^3+1=0 \\ &factor(p,q)=(x-a)(x-a^2)(x-a^4) (x+a^4+a)(x-a^5)(x+a^5+a^2) \notag \\ \end{align}

【6-2】　因数分解の答え＝自己同型写像全体

上記(1.7)の場合を考えます。 \(factor(p,q)=0\) の5根は(2.2)の様になります。5根は最小多項式の根ですから、ガロア拡大 \(Q(a)/Q\) の自己同型写像の多項式表示となっております。

\begin{align} &f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1\notag \\ &factor(p,q) =(x-a)(x-a^2+2)(x-a^3+3a) \notag \\ &\qquad \qquad \times (x-a^4+4a^2-2)(x+a^4+a^3-3a^2-2a+1) \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \rho_1(a) \equiv x_1=a \qquad \rho_2(a) \equiv x_2=a^2-2 \qquad \rho_3(a) \equiv x_3=a^3-3a \\ \rho_4(a) \equiv x_4=a^4-4a^2+2 \qquad\rho_5(a) \equiv x_5=-a^4-a^3+3a^2+2a-1 \\ \end{array} \right. \\ \end{align}

そこで、(2.2)の中から適当に選んだ自己同型写像 \(\rho_2\) を考えてみます。 \(\rho_2^i(a), \ i=[1,2,3,4,5,6]\) を以下に計算してみます。勿論 \((mod \ f(a))\) で計算します。

\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \rho_2(a)&=a^2-2&=x_2 \\ \rho_2^2(a)&={{\left( {{a}^{2}}-2\right) }^{2}}-2=a^4-4a^2+2&=x_4 \\ \rho_2^3(a)&={{\left( {{a}^{4}}-4 {{a}^{2}}+2\right) }^{2}}-2=a^3-3a&=x_3 \\ \rho_2^4(a)&={{\left( {{a}^{3}}-3 a\right) }^{2}}-2=-a^4-a^3+3a^2+2a-1&=x_5 \\ \rho_2^5(a)&={{\left( -{{a}^{4}}-{{a}^{3}}+3 {{a}^{2}}+2 a-1\right) }^{2}}-2=a&=x_1 \\ \rho_2^6(a)&=(a)^2-2&=x_2 \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &\therefore \quad \rho_2^5 = e \\ \end{align}

\(f(x)\) の根 \(a\) に対して、自己同型写像 \(\rho_2\) を次々に作用させると、全ての根が現れてきて、 5回で一巡する事が判ります。即ち \(\rho_2\) は5次の巡回群の生成元である事が判りました。
従って \(Q(a)/Q\) のガロア群は、5次の巡回群 \(C_5\) となります。ガロア群が判ったので、あとは今まで説明してきた計算手順で、基礎体 \(Q\) に添加する新たな数 \(a_1\) を求めてゆけば、\(f(x)\) を、拡大体 \(Q(a_1)\) 上で表現する事が出来、\(f(x)=0\) の根 \(a\) も添加数 \(a_1\) を使って表現できることになります。計算を進める際に、以下の様に \(h_i\) と \(x_j\) の添字の順番を(2.5)に従えば 正しく計算できるはずです。

\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} h_0=\rho_1(x-a)=(x-x_1)=(x-a) \\ h_1=\rho_2(x-a)=(x-x_2)=(x-a^2+2) \\ h_2=\rho_4(x-a)=(x-x_4)=(x-a^4+4a^2-2) \\ h_3=\rho_3(x-a)=(x-x_3)=(x-a^3+3a) \\ h_4=\rho_5(x-a)=(x-x_5)=(x+a^4+a^3-3a^2-2a+1) \\ \end{array} \right. \\ \end{align}

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【6-1】巡回方程式とその因数分解

【6-2】 因数分解の答え＝自己同型写像全体

【6-1】巡回方程式とその因数分解　

【6-2】　因数分解の答え＝自己同型写像全体