数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【第6章】 大学入試にも顔を出す巡回多項式の解法
\(\quad \)
\(\qquad \qquad \qquad \Phi_{5}(x)=x^4+x^3+x^2+x+1 \qquad Galois \ Group:C_4\)
\( \quad \)
▶ Page 1, 2, 3 ▶ Sample Program
[6-5] \(Q_1/Q\) の計算：最小多項式 \(g_1(x)\) 求める(2)
前節で求めた \(\{t_0,\tilde{t_1}\}\) を使って、(4.3)(LTR)の逆変換(5.1)(ILRT)を計算します。
【step3】ILRT(Inverse Lagrange Resolvent transformation)
\begin{align}
&\begin{bmatrix}
\tilde{h_0} \\
\tilde{h_1 }
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&1 \\
1&-1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
t_0 \\
\tilde{t_1}
\end{bmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
g_0(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \\
g_1(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ Q_1[x]
\end{array}
\right. \\
\end{align}
\(h_0\)はもともと \((x-v)\) の因子を含んでいたので、\(\tilde{h_0}\) が拡大体 \(Q_1\) での新たな最小多項式となります。
\begin{align} \tilde{h_0}&=t_0+ \tilde{t_1}=x^2+(a_1+\frac{1}{2})x+1 \equiv g_1(x) \quad \in Q_1[x] \\ \end{align}
[6-6] \(Q_2/Q_1\) の計算：最小多項式 \(g_2(x)\) 求める
次のガロア拡大 \(Q_2/Q_1\) も2次の巡回拡大で、 \(Gal(Q_2/Q_1)=C_2=\{\rho_1,\rho_4\}\) となります。従って(6.1)に\(v_1,v_4\) に \(v\) の多項式表現を代入して、 \(\{h_0,h_1\}\) さらに \(\{t_0,t_1\}\) を計算します。
【step1】LRT(Lagrange Resolvent transformation) \begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} h_0=(x-v_1) =x-v \\ h_1=(x-v_4) =x+v^3+v^2+v+1=x+v+a_1+\frac{1}{2} \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \\ \end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+\frac{a_1}{2}+\frac{1}{4}\\ -v-\frac{a_1}{2}-\frac{1}{4}\\ \end{bmatrix} \\ \end{align}
今回も2次の巡回拡大なので \(t_1^2\) は \(Q_1\)の数になるはずです。それを確認したのち、新たな数\(a_2\)を導入するための 二項方程式 \(B_2(x)=0\) を定義します。
\begin{align} t_1^2&=v^2+\bigl(a_1+\frac{1}{2}\bigr)v+\frac{a_1^2}{4}+\frac{a_1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{2 {a_1}-5}{8} \equiv A_2 \in Q_1\\ &\Downarrow \notag \\ B_2(x)&=x^2-A_2 \quad a_2=\sqrt{A_2} \ \in Q_1(a_2) \equiv Q_2 \qquad \tilde{t_1}\equiv a_2 \in Q_2 \\ \end{align}
【step2】二項方程式 \(B_1(x)=0\) と新たな添加数 \(a_1\) の生成
\begin{align}
\left\{
\begin{array}{l}
t_1=-v-\frac{a_1}{2}-\frac{1}{4} \ \in Q_1(v)\\
\notag \\
t_1^2=\frac{2 {a_1}-5}{8} \equiv A_2 \in Q_1\\
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
\tilde{t_1}=a_2 \ \in Q_2\\
\\
B_2(x)=x^2-A_2=0 \\
a_2=\sqrt {A_2} \ \in Q_1(a_2) \equiv Q_2\\
\end{array}
\right. \notag \\
\end{align}
\(\{t_0,\tilde{t_1}\}\) が求まったので、(6.2)(LRT)の逆変換(ILRT)をして最終的な最小多項式 \(g_2(x)\) を求めます。
【step3】ILRT(Inverse Lagrange Resolvent transformation)
\begin{align}
&\begin{bmatrix}
\tilde{h_0} \\
\tilde{h_1 }
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&1 \\
1&-1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
t_0 \\
\tilde{t_1}
\end{bmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
g_0(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \\
g_1(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ Q_1[x]
\end{array}
\right. \\
\end{align}
\(h_0\)はもともと \((x-v)\) の因子を含んでいたので、\(\tilde{h_0}\) が拡大体 \(Q_2\) での新たな最小多項式 \(g_2(x)\) となります。
\begin{align} \tilde{h_0}&=t_0+ \tilde{t_1}=x+{a_2}+\frac{{a_1}}{2}+\frac{1}{4} \equiv g_2(x) \quad \in Q_2[x] \\ \therefore \ v&=-{a_2}-\frac{{a_1}}{2}-\frac{1}{4} \\ \end{align}
最終的に \(g_2(x)=0\) の根が求める \(v\) の値となります。この値を(3.6)に代入すれば \(f(x)\) の4根が求まります。
但し計算は \( mod(B(a_2)) \ \rightarrow \ mod(B_1(a_1)) \) の順で剰余を取る事に注意してください。
\begin{align} v_1&=-{a_2}-\frac{{a_1}}{2}-\frac{1}{4} & v_2&={a_1} {a_2}+\frac{{a_2}}{2}+\frac{{a_1}}{2}-\frac{1}{4} \notag \\ v_3&=-{a_1} {a_2}-\frac{{a_2}}{2}+\frac{{a_1}}{2}-\frac{1}{4} & v_4&={a_2}-\frac{{a_1}}{2}-\frac{1}{4} \notag \\ \end{align}