数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【第6章】 大学入試にも顔を出す巡回多項式の解法
\(\quad \)
\(\qquad \qquad \qquad \Phi_{5}(x)=x^4+x^3+x^2+x+1 \qquad Galois \ Group:C_4\)
\( \quad \)
▶ Page 1, 2, 3 ▶ Sample Program
【6-3】円分方程式 \(\Phi_5(x)\) の設定
円分多項式は巡回多項式の典型的な例です。そこで代数体上の因数分解の応用を円分多項式 \(\Phi_{5}(x)\) を使って 具体的に計算してみます。 これ以降は、以下のように式に対する文字を使い分けます。・円分多項式だと強調したい場合：\(\Phi_{5}(x)\)を使用する
・最小多項式だと強調したい場合：\(g_0(x)\)を使用する。勿論 \([ \ \Phi_{5}(x)=g_0(x), \ g_0(v)=0 \ ]\) です！
・基礎体を\(Q\)とします。
それでは、この \(g_0(v)\) で生成される代数体 \(Q(v)\) の中で、 \(\Phi_{5}(x)\) を maximaの命令 \(factor(p,q)\) で因数分解すると(3.3)となります。
\begin{align} &x^{5}-1=(x-1) \times \Phi_{5}(x) \notag \\ \notag \\ &\Phi_{5}(x) =( x^4+x^3+x^2+x+1) \\ \notag \\ &Minimal \ Polynomial \ of \ v : \ g_0(x) \equiv \Phi_{5}(x) \quad \rightarrow \quad g_0(v)=0\\ \notag \\ &factor(\Phi_{5}(x),g_0(v))=(x-v)(x-v^2)(x-v^3)(x+v^3+v^2+v+1) \\ \notag \\ \therefore \ f(x)&=(x-v)(x-v^2)(x-v^3)(x+v^3+v^2+v+1) \\ &=(x-v_1)(x-v_2)(x-v_3)(x-v_4) \\ \notag \\ &\Downarrow \notag \\ \end{align} \begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &\rho_{1}(v) \equiv v_{1}=v & &\rho_{2}(v) \equiv v_{2}=v^{2} \\ &\rho_{3}(v) \equiv v_{3}=v^{3} & &\rho_{4}(v) \equiv v_{4}=-(v^3+v^2+v+1) \quad mod( \ g_0(v) \ ) \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
(3.4)より、\(\Phi_5(x)\) は代数体 \(Q(v)\) の中で簡単に因数分解出来ました。従って \(\Phi_5(x)\) の4つの根は、簡単に求める事が出来ます。 (3.6)の \(\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\) が \(\Phi_5(x)\) の4根の \(v\) の多項式表現です。 同時に\(\{ \rho_i\}\) を、ガロア拡大 \(Q(v)/Q\) の自己同型写像としました。この事が正しいかどうかの確認をしておきます。
その為には自己同型写像 \(\{\rho_i\}\) の積が群をなす事を確認します。 積は以下の様に定義できます。
\begin{align} &v^5=v \cdot v^4=-v(v^3+v^2+v+1)=-(v^4+v^3+v^2+v)=-(-1)=1 \quad \therefore \ v^5=1 \\ &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ \end{align} \begin{align} &\rho_2 \circ \rho_2(v)=\rho_2(v^2)=\rho_2(v) \cdot \rho_2(v)=v^2 \cdot v^2=v^4=v_4=\rho_4(v) & &\rightarrow & &(\rho_2)^2=\rho_4 \notag \\ &\rho_2 \circ \rho_2\circ \rho_2(v)=(v^2)^4=v^3=v_3=\rho_3(v) & &\rightarrow & &(\rho_2 )^3=\rho_3 \\ &\rho_2 \circ \rho_2 \circ \rho_2\circ \rho_2(v)=(v^2)^3=v^6=v=v_1=\rho_1(v) & &\rightarrow & &(\rho_2 )^4=\rho_1 \notag \\ \end{align}
| \( i \backslash j \) | \(\rho_1\) | \(\rho_2\) | \(\rho_4\) | \(\rho_3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\rho_1\) | \(\rho_1\) | \(\rho_2\) | \(\rho_4\) | \(\rho_3\) |
| \(\rho_2\) | \(\rho_2\) | \(\rho_4\) | \(\rho_3\) | \(\rho_1\) |
| \(\rho_4\) | \(\rho_4\) | \(\rho_3\) | \(\rho_1\) | \(\rho_2\) |
| \(\rho_3\) | \(\rho_3\) | \(\rho_1\) | \(\rho_2\) | \(\rho_4\) |
\(\quad\)
(3.8)より、\(\rho_2\) のべき乗を計算すると、
全ての同型写像を生成する事が判りました。
即ち \(\Phi_{5}(x)\) のガロア群は位数4の
巡回群 \(C_{4}\) である事が判りました。
\( \therefore \ Gal(Q(v)/Q)=C_4 \)
巡回群 \(C_4\) の組成列 (Composition series) は、(3.9)となります。従って、組成列 \([ \ C_4 \ \rhd \ C_2 \ \rhd \ e \ ]\) に対応して、基礎体 \(Q\) は 下図Fig6-1にあるように、 \([ \ Q \rightarrow Q_1 \rightarrow Q_2 \ ]\) と2段階で拡大される事が判ります。
\begin{align} &Gal(Q(v)/Q)=C_4 =\{\rho_{1}, \rho_{2},\rho_{3}, \rho_{4}\} \notag \\ \notag \\ &\qquad C_2=\{\rho_{1}, \rho_{4}\} \qquad e=\{\rho_{1}\} \notag \\ \notag \\ & \ Composition \ series \ of \ Galois \ group \ C_4 \notag \\ & \quad \biggl[ \ C_4 \ \rhd \ C_2 \ \rhd \ e \ \biggr] \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &Cyclic \ extensions \notag \\ &\quad \biggl[ \ C_4/C_2 \ \rhd \ e \ \biggr] \rightarrow \biggl[ \ C_2/e \ \rhd \ e \ \biggr] \\ \end{align}
[6-4] \(Q_1/Q\) の計算：最小多項式 \(g_1(x)\) 求める(1)
従来の解法手順に従って、淡々と計算してゆくだけで答えにたどり着きます。以降余り解説はいらないでしょう。(3.6)を(4.1)(4.2)に代入して \(\{h_0,h_1\}\) を計算します、それを(4.3)に代入して \(\{t_0,t_1\}\) を計算します。
\begin{align} h_0&=\prod_{\sigma_i \in \ C_2}\sigma_i(x-v)=(x-v_1)(x-v_4 )=x^2-(v^3+v^2)x+1 \\ h_1&=\prod_{\sigma_i \in \ (C_4-C_2)}\sigma_i(x-v)=(x-v_2)(x-v_3)=x^2-(v^3+v^2)x+1 \\ \notag \\ \end{align} \begin{align} \begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \\ \end{bmatrix} &=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {{x}^{2}}+\frac{x}{2}+1\\ (v^3+v^2+\frac{1}{2})x \\ \end{bmatrix}\\ \end{align}
(4.3)の \(t_1\) の最高雄次数の係数を従来通りの記号を使って \(cd_m\) とします。 \(cd_m\) を使って新たな添加数 \(a_1\) を 考えることにします。さらに 2次の巡回拡大なので \(cd_m^2\) を計算します。
\begin{align} &t_1=cd_m \cdot q_1(x) \ \in Q(v)[x] \notag\\ &cd_m=(v^3+v^2+\frac{1}{2}) \ \in Q(v) \quad q_1(x)=x \ \in Q[x]\\ \end{align}
\begin{align} \bbox[#FFFF00]{ cd_m^2 } &=(v^3+v^2+\frac{1}{2})^2=v^6+2v^5+v^4+v^3+v^2+\frac{1}{4}= \frac{5}{4} \bbox[#FFFF00]{ \equiv A_1 } \ \in Q \\ \end{align}
この方程式の冪根を \(a_1\) という新たな数として定義します。この数を基礎体 \(Q\) に添加して、拡大体 \(Q_1\) を考えます。 この \(a_1\) を使うと、 \(t_1\)は拡大体 \(Q_1\) 上の多項式と考える事が出来ます。 \(t_1\) は元来 \( Q(v)\) 上の多項式だったので、 \(a_1\) を使った表現は \(Q_1\) 上の多項式となる為、チルダを付けて \(t_1\) とは区別することにします。
【step2】二項方程式 \(B_1(x)=0\) と新たな添加数 \(a_1\) の生成
\begin{align}
&\left\{
\begin{array}{l}
t_1=cd_m \cdot q_1(x) \ \in Q(v)[x]\\
\\
cd_m=(v^3+v^2+\frac{1}{2}) \ \in Q(v) \\
q_1(x)=x \ \in Q[x]\\
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
B_1(x)=x^2-A_1=0 \\
a_1=\sqrt {A_1} \ \in Q(a_1) \equiv Q_1\\
\\
\tilde{t_1}=a_1 \cdot q_1(x) \ \in Q_1[x] \\
\end{array}
\right. \\
\end{align}