ガロア理論を使って方程式を解く具体的な計算方法

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APX2　1の原始冪乗根　\("\omega \quad and \quad \zeta_5"\)　の計算

APX2-1　超爆速 \("\omega"\) の計算

[1]　円分方程式 \(\Phi_3(x)\)の設定

先ず、1の原始3乗根 \(\omega\) を決める円分方程式 \(\Phi_3(x)\) は、以下のように式(1)となります。

\begin{align} \setCounter{0} x^3-1=&(x-1)(x^2+x+1) \notag \\ \therefore \ \Phi_3(x) \equiv & \ (x^2+x+1) \quad \in \ Q[x]\\ \end{align}

ここからが本題です。
有理数体 \(Q\) 上の多項式 \(\Phi_3(x)\) の根を求めるわけですが、ガロア理論を使った計算で根を求めます。
根の公式は使いません。 \(\Phi_3(x)\) の根を\(\{\alpha,\beta\}\) とすると、下式が成り立ちます。

\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \Phi_3(x)=x^2+x+1=(x-\alpha)(x-\beta)\\ \alpha+\beta=-1 \quad \alpha\beta=1 \end{array} \right. \\ \end{align}

[2]　原始元 \(v\) の設定とその最小多項式 \(g_0(x)\)

\(\{\alpha,\beta\}\) を使って、式(3)で原始元 \(v\) を定義します。
この原始元 \(v\) を使って有理数体 \(Q\) に \(v\) が添加された新たな体 \(Q(v)\) を考える事にします。

次に、式(4)の置換群 \(C_2= \{\sigma_1,\sigma_2\}\) を \(v\) の \(\{\alpha,\beta\}\) に作用させ、 \(\{v_1,v_2 \}\) を生成します。
この \(\{v_1,v_2 \}\) を使って、式(5)で \(V(x)\) を定義します。 \(V(x)\) を展開し、\(\Phi_3(x)\) の根と係数の関係を使うと、最終的には式(6)の様に \(Q\) 上の多項式となる事が判ります。
更に \(V(x)\) は既約多項式なので、\(V(x)\) を \(v\) の最小多項式 \(g_0(x)\) とする事が出来ます。
又、\(v_1=v\) は \(V(x)\) の根ですから、当然 \(g_0(x)\) の根でもあります。

\begin{align} v &\equiv 1 \cdot \alpha+2 \cdot \beta \\ \notag \\ \sigma_1&=\begin{pmatrix} \alpha&\beta \\ \alpha &\beta \end{pmatrix} \quad \sigma_2=\begin{pmatrix} \alpha&\beta \\ \beta&\alpha \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} \sigma_1(v)=v_1=\alpha+2\beta \\ \sigma_2(v)=v_2=\beta+2\alpha \end{array} \right. \\ \notag \\ V(x) &\equiv (x-v_1)(x-v_2) \\ &=x^2-(v_1+v_2)x+v_1v_2=x^2-3(\alpha+\beta)x+(2\alpha^2+2\beta^2+5\alpha\beta) \notag \\ &=x^2-3(\alpha+\beta)x+\{2(\alpha+\beta)^2+\alpha\beta\} \quad ( \ \alpha+\beta=-1 \quad \alpha\beta=1 \ ) \notag \\ &=x^2+3x+3 \quad \in Q[x] \\ \notag \\ \therefore \quad &g_0(x)=x^2+3x+3 \quad \Rightarrow \quad g_0(v)=v^2+3v+3=0 \quad ( \ \because \ v_1=v \ )\\ \end{align}

[3]　\(\{\alpha,\beta\}\) 及び \(\{v_1,v_2\}\) の \(v\) による多項式表現の計算

式(3)と根と係数の関係より以下の計算は簡単に計算できます。

\begin{align} v=\alpha+2\beta &=-\alpha-2 \quad ( \ \because \quad \alpha+\beta=-1 \ ) \notag \\ &\Downarrow \notag \\ \alpha &=-v-2 \quad \Rightarrow \quad \beta=-1-\alpha=-v-3 \\ &\Downarrow \notag \\ & eq(4) \quad \Rightarrow \quad v_1=v, \quad v_2=-v-3 \\ \end{align}

[4]　\(\Phi_3(x)\) のガロア群

今まで計算してきた式(2)(4)(7)(8)(9)をまとめると、以下の式が成り立ちます。

\begin{align} &\Phi_3(x)=(x-\alpha(v))(x-\beta(v)) & &\left\{ \begin{array}{l} \alpha=\alpha(v)=-v-2 \\ \beta=\beta(v)=v+1 \end{array} \right. \\ \notag \\ &g_0(x)=(x-v_1)(x-v_2) & &\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1(v)=v_1=v_1(v)=v \\ \sigma_2(v)=v_2=v_2(v)=-v-3 \end{array} \right. \\ \end{align}

細かい話を抜きにすると、式(10)(11)より、体論の言葉を使うと \(Q(v)\) はガロア拡大体だと言えます。

体論では、「ガロア拡大体 \(Q(v)\) に対しては、基礎体 \(Q\) の元を不動にする \(\sigma_i(v)=v_i\) を満たす \(Q\) 上の自己同型写像 \(\{\sigma_1,\sigma_2\}\) が存在し、自己同型写像全体が群をなす。」と主張しています。
この群を \(Gal(Q(v)/Q)\) で表し、\(Q(v)/Q\) のガロア群と言います。従って、 \(\Phi_3(x)\) のガロア群は、

　　　　　　\(Gal(Q(v)/Q)=C_2=\{\sigma_1,\sigma_2\}\)

と言えます。以上の話は、理論の背景を描写しただけで、たとえ知らなくても、以後の計算過程は、問題なく理解できると思います。（難しい計算はありません。）

式(11)を見てください。置換群 \(C_2= \{\sigma_1,\sigma_2\}\) は、\(g_0(x)\) の根 \(v \ (=v_1)\) を \(\{v_1,v_2\}\) に写像している様にみえるのではないでしょうか。この写像と言う概念を使って下記の3例は計算がされております。特に上記の記述「基礎体 \(Q\) の元を不動にする」と言う意味を、計算の変形過程から理解していただければ十分です。
全ての場合を計算してまとめたのが【表APX2-1】【表APX2-2】【表APX2-3】です。

【表apx2-1】\(\sigma_2 \circ \sigma_2\) の計算例

\begin{align} &\sigma_2 \circ \sigma_2(v)=\sigma_2(v_2)=\sigma_2(-v-3)=-\sigma_2(v)-3 \notag \\ &=-v_2-3=-(-v-3)-3=v=\sigma_1(v) \notag \\ &\sigma_2 \circ \sigma_2(v)=\sigma_1(v)\qquad \therefore \ \sigma_2 \circ \sigma_2=\sigma_1 \end{align}

【表apx2-2】\(\sigma_2(\beta)\) の計算例

\begin{align} \sigma_2(\beta)=&\sigma_2(v+1)=\sigma_2(v)+1=v_2+1 \notag \\ =&-v-3+1=-v-2=\alpha \qquad \therefore \ \sigma_2(\beta)=\alpha \end{align}

【表apx2-3】\(\sigma_2(v_2)\) の計算例

\begin{align} \sigma_2(v_2)=&\sigma_2(-v-3)=-\sigma_2(v)-3=-v_2-3 \notag \\ =&-(-v-3)-3=v=v_1 \qquad \therefore \ \sigma_2(v_2)=v_1 \end{align}

【表apx2-1】\( (\sigma_i \circ \sigma_j) \) 積表
\( i \backslash j \)	\(\sigma_1\)	\(\sigma_2\)
\(\sigma_1\)	\(\sigma_1\)	\(\sigma_2\)
\(\sigma_2\)	\(\sigma_2\)	\(\sigma_1\)

【表apx-2-2】\(\sigma_i \) 変換表
\( \ \)	\(\sigma_i(\alpha)\)	\(\sigma_i(\beta)\)
\(\sigma_1\)	\(\alpha\)	\(\beta\)
\(\sigma_2\)	\(\beta\)	\(\alpha\)

【表apx2-3】\(\sigma_i(v_j)\)変換表
\( i \backslash j \)	\(\sigma_i(v_1)\)	\(\sigma_i(v_2)\)
\(\sigma_1\)	\(v_1\)	\(v_2\)
\(\sigma_2\)	\(v_2\)	\(v_1\)

次ページに続く

APX2 1の原始冪乗根 \("\omega \quad and \quad \zeta_5"\) の計算

APX2-1 超爆速 \("\omega"\) の計算

[1] 円分方程式 \(\Phi_3(x)\)の設定

[2] 原始元 \(v\) の設定とその最小多項式 \(g_0(x)\)