【例題1】の解法手順（RT3&RT4）
EX1-RT3-1\begin{align*} &f(x)=3x^3+3x+1 \quad \{\alpha,\beta,\gamma\}: \ roots \ of \ F(x)\\ &Primitive \ element \quad v=1\cdot\alpha+2\cdot \beta+3\cdot\gamma \end{align*}
\[\qquad The \ system \ of \ equations\]
\[ \qquad \left\{ \begin{array}{l} \alpha^3+3\alpha+1=0\\ \beta^2+\alpha\beta+\alpha^2+3=0\\ \alpha+\beta+\gamma=0\\ v-(\alpha+2\beta+3\gamma)=0 \end{array} \right.\\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \]
\[\qquad Elimination \ Theory\]
\[ \qquad V(v)= v^6+18v^4+81v^2+135 \]
\[g_{0}(x)=x^6+18x^4+81x^2+135 \]
\[ \qquad g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\omega) \]
\[Factorization \ of \ f(x) \ on \ F_0(v)\] \[\quad "maxima's \ function \ "\] \[\qquad factor(f(x),g_0(v))\]
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \alpha&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}-9 v+36}{18}\\ \beta&=-\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+36}{9}\\ \gamma&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+9 v+36}{18}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*}
\begin{align*} v_{1}&=v & v_{2}&=\frac{-v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}-6\\ v_{3}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}+\frac{v}{2}+6 & v_{4}&=\frac{v^4}{6}+\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}+6\\ v_{5}&=-\frac{v^4}{6}-\frac{5v^2}{2}-\frac{v}{2}-6 & v_{6}&=-v \end{align*}
\begin{align*} &g_0(v_i)=0 \quad for \ (i=1,2,..,6) \\ &\qquad \qquad \Downarrow\ \\ &S_3: Galois \ group \ of \ f(x) \\ &\qquad composition \ series \ S_3 \rhd A_3 \rhd \{e\} \end{align*}
\[ g_{1}(x)=x^3+9x+a_{1} \in F_{1}[x] \]
\[\quad g_1(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_1=F_0(a_1)\\ \quad Here \ \ B_1=a_{1}^2 +135=0 \]
\[g_{2}(x)=x+{{a}_{2}^{2}}\, \left( -\frac{\omega }{3}+\frac{{a_1}}{18}-\frac{1}{6}\right) +{a_2} \in F_{2}[x]\]
\[ \quad g_2(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_2=F_0(a_1,a_2)\\ \quad Here \quad B_2=a_2^3-\frac{6 \omega +{a_1}+3}{2}=0, \ \Omega=\omega^2+\omega+1=0 \]
\begin{align*} v=&\frac{{{a}_{2}^{2}} \omega }{3}-\frac{{a_1} {{a}_{2}^{2}}}{18}+\frac{{{a}_{2}^{2}}}{6}-{a_2} \\ \\ \alpha=&-\frac{{a_1} \left( {{a}_{2}^{2}} \omega -{{a}_{2}^{2}}\right) +\left( 9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}\right) \omega +9 {{a}_{2}^{2}}-36 {a_2}}{54}\\ \beta=&\frac{{a_1} \left( 2 {{a}_{2}^{2}} \omega +{{a}_{2}^{2}}\right) -36 {a_2} \omega +9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}}{54}\\ \gamma=&-\frac{{a_1} \left( {{a}_{2}^{2}} \omega +2 {{a}_{2}^{2}}\right) +\left( -9 {{a}_{2}^{2}}-18 {a_2}\right) \omega +18 {a_2}}{54}\\ \\ Here &\quad B_1=a_{1}^2 +135=0,\\ &B_2=a_2^3-\frac{6 \omega +{a_1}+3}{2}=0, \\ &\Omega=\omega^2+\omega+1=0 \end{align*}
（覚書：冪根の実態は？）RT3-1 問題の設定
例題１は次の３次方程式 \(f(x)\)の根を求める事です。
RT1-1で様々な数学用語を説明をしたので、RT3ではごく簡単に説明するだけにします。
\begin{equation} \setCounter{0} f(x)=x^3+3x+1=0 \quad \in F_0[x]\\ \{ \ \alpha,\beta,\gamma \ \} :roots \ of \ F(x) \end{equation}
\begin{align} v=1\cdot\alpha+2\cdot\beta+3\cdot\gamma \end{align}
RT3-2, RT3-3の計算
以下に記述する計算方法は、井汲景太氏が提案された方法です。
\(f(x)\)を\(\{ \ (x-\alpha), \ (x-\beta),(x \ -\gamma) \ \}\) の3式を使って、以下の様に順次割ってゆきます。
\begin{align} f(x)&=x^3+3x+1 \notag \\ \notag \\ f(x)&=(x-\alpha)(x^2+\alpha x+\alpha^2+3)+(\alpha^3+3 \alpha +1) \notag \\ &=(x-\alpha)q_1(x)+r_1\\ \notag \\ q_1(x)&=(x-\beta)( x+\alpha+\beta )+(\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2+3) \notag \\ &=(x-\beta)q_2(x)+r_2\\ \notag \\ q_2(x)&=(x-\gamma) \cdot 1+(\alpha+\beta+\gamma) \notag \\ &=(x-\gamma)q_3(x)+r_3\\ \end{align}
\begin{align} f(\alpha)=0 \quad &\Rightarrow \quad r_1=\alpha^3+3 \alpha +1=0\\ q_1(\beta)=0 \quad &\Rightarrow \quad r_2=\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2+3=0\\ q_2(\gamma)=0 \quad &\Rightarrow \quad r_3=\alpha+\beta+\gamma=0\\ eq(2) \quad &\Rightarrow \quad r_4=v-(\alpha+2\beta+3\gamma)=0\\ \end{align}
例えば、2変数連立方程式 \(\{f(x,y)=0,g(x,y)=0\}\) の解を求めるとします。
その際に、終結式 \( \ Resultant( \ f(x,y), \ g(x,y), \ y \ )=h(x) \ \) という計算をして、 変数 \(y\) を消去した方程式 \(\ h(x)=0 \ \) を考える。という方法です。 終結式に関しては、次の2つの本が非常に参考になります。
・「代数学入門第三課」 一松信 著
・「Ideals,Varieties, and Algorithms」 David Cox 著
式(6)-(9)の4元連立方程式の場合、計算ソフトmaximaでは以下の3行で 1変数方程式(12)までたどり着けます。
\begin{align} &s_1:resultant(r_4,r_3,\gamma); & &s_1=\beta -2 \alpha -v=0 \\ &s_2:resultant(g_1,r_2,\beta); & &s_2=3 {{\alpha }^{2}}+3 v \alpha +{{v}^{2}}+3=0 \\ &s_3:resultant(g_2,r_1,\alpha); & &s_3={{v}^{6}}+18 {{v}^{4}}+81 {{v}^{2}}+135=0 \\ \end{align}
\begin{align} &s_3=0\quad \Rightarrow \quad V(v)= v^6+18v^4+81v^2+135=0 \notag \\ & \qquad V(v):irreducible \ polynomial \ on \ F_0(v) \notag \\ &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ & \therefore \ V(x) \equiv g_0(x): \ minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0 \notag \\ & \qquad g_0(x)= {{x}^{6}}+18 {{x}^{4}}+81 {{x}^{2}}+135 \\ \end{align}
RT3-4の計算
さて、これから記述する計算方法は、"jurupapa"氏の連載記事の中で、"ehito"氏から
教えてもらった方法だという紹介がありました。それは、まるで魔法のようなものでした。
それは、上記の \(g_0(v)=0\) で定義された代数体 \(F_0(v)\) で \(f(x)\) を因数分解してしまう
と言う計算なのです。この計算はmaximaでも用意されており、
Manualをみると、
\(factor(p,q)\) という計算命令は、
「pを最小多項式がqである要素を加えた有理数体上で因数分解します」
と説明があるだけです。
実際にmaximaを使って、方程式 \(f(x)\)を\(v\) の最小多項式 \(g_0(v)=0\) が作る有理数体上で
因数分解してみましょう。以下の式(14)が問題の因数分解命令で、それに続く、式(15)は単に
\(fg=0\) を解け(solve)という命令です。
\begin{align} &fg:factor(f(x),g_0(v)); \notag \\ \notag \\ &fg= \frac{\left( 9 x+{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+36\right) \, \left( 18 x-{{v}^{4}}-15 {{v}^{2}}-9 v-36\right) \, \left( 18 x-{{v}^{4}}-15 {{v}^{2}}+9 v-36\right) }{2916}\\ \notag \\ &solve(fg,x); \notag \\ \notag \\ &\left[ x_1=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}-9 v+36}{18}\operatorname{,} x_2=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+9 v+36}{18}\operatorname{,} x_3=-\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+36}{9}\right] \\ \end{align}
式(15)の3根 \(\{x_1,x_2,x_3\}\) を見ると、RT1やRT2で求めた \(f(x)=0\) の3根 \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma \ \}\) の \(v\) による多項式表現そのものです。（順番は一致しておりませんが） RT1では3根を求めるため、かなりの計算してきました。 それが本計算法では、式(14)のたった1行の命令で済んでしまうのです！ この事には驚愕しました。
この計算法の背後に潜む「からくり」を理解するのに随分時間が かかりました。参考資料がいくつか挙げられているのですが、 はっきり言って難しすぎて到底理解できませんでした。
しかし、自分なりに数式にしてみて、「背後で何が行われているのか？」 それらしき説明がついたので、それを「【補足1】代数体上での因数分解」に書いておきました。
数学の専門の方からのご批判をいただければ幸いです。
残る課題は \(\{x_1,x_2,x_3\}\) と \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma \ \}\) の 対応をつける事です。 次ページに続く
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