【例題3】の解法手順
EX3-1\begin{align*} &f(x)=x^5-10x^3+5x^2+10x+13 \\ \\ &\qquad \{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon\}: \ roots \ of \ f(x)\\ &\qquad v: \ Primitive \ element \\ \\ & v=1\cdot\alpha+2\cdot \beta+3\cdot\gamma+4 \cdot \delta+5 \cdot \epsilon \end{align*}
\[ \qquad The \ system \ of \ equations \]
\[ \left\{ \begin{array}{l} r_1=\alpha^5-10\alpha^3+5\alpha^2+10 \alpha +1=0\\ r_2=\beta^4+\alpha\beta^3+(\alpha^2-10)\beta^2+(\alpha^3-10 \alpha +5)\beta \\ \qquad +\alpha^4-10\alpha^2+5 \alpha +10=0\\ r_3=\gamma^3+( \beta +\alpha )\gamma^2+(\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2-10)\gamma +\beta^3 \\ \qquad +\alpha\beta^2+(\alpha^2-10) \beta +\alpha^3-10 \alpha +5=0\\ r_4=\delta^2+( \gamma +\beta +\alpha )\delta +\gamma^2+( \beta +\alpha )\gamma \\ \qquad +\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2-10=0 \\ r_5=\alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon=0 \\ r_6=v-(\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta+5\epsilon )=0 \\ \end{array} \right.\\ \quad \\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \]
\[ \qquad Elimination \ Theory \]
\[ V(v)= {{v}^{120}}-3000 {{v}^{118}}+4350000 {{v}^{116}}.... \\ \qquad \qquad ..........\\ \quad \\ \qquad =( v^5-125v^3+2500v-4375 )\times .....\\ \qquad \times (v^5-125v^3+800v^2-1750 v+1225 ) \\ \]
\[g_{0}(x)=x^5-125x^3+2500x-4375 \]
\[ g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\zeta) \]
\[Factorization \ of \ f(x) \ on \ F_0(v)\] \[\quad "maxima's \ function \ "\] \[\qquad factor(f(x),g_0(v))\]
\begin{align*} &\alpha=\alpha(v)=\frac{22 {{v}^{4}}+25 {{v}^{3}}-2575 {{v}^{2}}-5125 v+35250}{5375}\\ &\beta=\beta(v), \ \gamma=\gamma(v), \ \delta=\delta(v), \ \epsilon=\epsilon(v)\\ \quad \\ \end{align*}
\begin{align*} &roots \ of \ V(x)\\ &\quad [ \ v_1=v_1(v), \ ....\ , \ v_{120}=v_{120}(v) \ ] \\ \end{align*}
\begin{align*} &g_0(v_i)=0 \quad for \ (i=1,34,65,91,97) \\ &\qquad \qquad \Downarrow\ \\ &C_5: Galois \ group \ of \ F(x) \\ &\qquad composition \ series \quad C_5 \rhd \{e\} \end{align*}
\[g_1(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_1(x) \ \in \ F_0(a_1)[x] \\ \quad \\ B_1=a_1^5+ 500\zeta^3+1000\zeta^2+875 \zeta +125 =0 \]
\begin{align*}
&v=v(a_1,\zeta) \\
\quad \\
&\left\{
\begin{array}{l}
\alpha=\alpha(a_1,\zeta), \quad
\beta=\beta(a_1,\zeta) \\
\gamma=\gamma(a_1,\zeta), \quad
\delta=\delta(a_1,\zeta) \\
\epsilon=\epsilon(a_1,\zeta) \\
\end{array}
\right.\\
\end{align*}
（覚書：\(t_1=0 \ \Rightarrow \ A_1=0\) の時どうしますか？
EX3-1 問題の設定
例題3は次の5次方程式 \(f(x)\) の根を求める事です。
5次方程式と言っても例題の方程式のガロア群は、5次の巡回群 \(C_5\) なので可解です。【例題1,2】の計算手順をそのまま適用できます。
実はこの例題を取り上げた理由として、もう一つ利用があります。それは \(v\) の最小多項 \(g_0(x)\)
から、体を拡大する事により、1次の最小多項式 \(g_1(x)\) に次数を低下させる手続きが、この例題によって
どの様な拡大次数にも対応できる計算手順を明示する事が出来るからです。
方程式 \(f(x)\) の基礎体 \(F_0\) を、有理数体 \(Q\) に予め1の5乗根 \(\zeta\) が添加された体 \(F_0=Q(\zeta)\) とします。
\begin{align} \setCounter{0} &f(x)=x^5-10x^3+5x^2+10x+13 \\ &\quad \{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon\}: \ roots \ of \ f(x)\\ \end{align}
\begin{align} v=1\cdot\alpha+2\cdot \beta+3\cdot\gamma+4 \cdot \delta+5 \cdot \epsilon \end{align}
（注）： \(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon\} \) にかかっている係数 \([ \ 1,2,3,4,5 \ ]\) ですが、 異なった数の組み合わせなら殆どの場合構いません。
EX3-2, EX3-3の計算
以下に記述する計算方法は、井汲景太氏が提案された方法です。
（途中までは【例題2】とほとんど同じです。）
\(f(x)\)の因数\( (x-\alpha) \) などの5式を使って、以下の様に順次割ってゆきます。
\begin{align} &f(x)=x^5-10x^3+5x^2+10x+13 \notag \\ &\quad =(x-\alpha)(x-\beta)(x \ -\gamma)(x \ -\delta)(x \ -\epsilon) \notag \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} f(x)=(x-\alpha)q_1(x)+r_1 \\ q_1(x)={{\alpha }^{4}}+x\, \left( {{\alpha }^{3}}-10 \alpha +5\right) -10 {{\alpha }^{2}}+{{x}^{2}} \left( {{\alpha }^{2}}-10\right)\\ \qquad +{{x}^{3}} \alpha +5 \alpha +{{x}^{4}}+10 \\ r_1=\alpha^5-10\alpha^3+5\alpha^2+10 \alpha +1 \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} q_1(x)=(x-\beta)q_2(x)+r_2 \\ q_2(x)={{\beta }^{3}}+x\, \left( {{\beta }^{2}}+\alpha \beta +{{\alpha }^{2}}-10\right) +\alpha {{\beta }^{2}}+{{x}^{2}} \left( \beta +\alpha \right) \\ \qquad +\left( {{\alpha }^{2}}-10\right) \beta +{{\alpha }^{3}}-10 \alpha +{{x}^{3}}+5 \\ r_2=\beta^4+\alpha\beta^3+(\alpha^2-10)\beta^2+(\alpha^3-10 \alpha +5)\beta \\ \qquad +\alpha^4-10\alpha^2+5 \alpha +10\\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} q_2(x)=(x-\gamma)q_3(x)+r_3 \\ q_3(x)={{\gamma }^{2}}+x\, \left( \gamma +\beta +\alpha \right) +\left( \beta +\alpha \right) \gamma +{{\beta }^{2}}+\alpha \beta \\ \qquad +{{\alpha }^{2}}+{{x}^{2}}-10 \\ r_3= \gamma^3+( \beta +\alpha )\gamma^2+(\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2-10)\gamma +\beta^3 \\ \qquad +\alpha\beta^2+(\alpha^2-10) \beta +\alpha^3-10 \alpha +5\\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} q_3(x)=(x-\delta)q_4(x)+r_4 \\ q_4(x)=\delta +\gamma +\beta +\alpha +x \\ r_4= \delta^2+( \gamma +\beta +\alpha )\delta +\gamma^2+( \beta +\alpha )\gamma \\ \qquad +\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2-10 \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} q_4(x)=(x-\epsilon)q_5(x)+r_5 \\ q_5(x)=1 \\ r_5=\alpha+\beta+\gamma+\delta+\epsilon \end{array} \right.\\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &f(\alpha)=0 \ \Rightarrow \ r_1=0 \quad &q_1(\beta)=0 \ \Rightarrow \ r_2=0 \\ &q_2(\gamma)=0 \ \Rightarrow \ r_3=0\quad &q_3(\delta)=0 \ \Rightarrow \ r_4=0 \\ &q_4(\epsilon)=0\ \Rightarrow \ r_5=0 \quad & \end{array} \right.\\ \notag \\ &eq(3) \quad \Rightarrow \quad r_6=v-(\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta+5\epsilon)=0\\ \end{align}
この様な場合、「終結式」を使う「消去法」と呼ばれる手法で変数を少なくして 問題の簡素化を図ります。最終的には \(v\) の次数120次の1変数多項式まで簡略化（？）されます。
計算ソフトmaximaで計算した結果を下に示します。但し、初めの式以外は式が長くなるので 途中を省略してあります。(resultant(x,y,z)をRes(x,y,z)で表しました)
\begin{align} &s_1:Res(r_6,r_5,\epsilon); \quad s_1=-\delta -2 \gamma -3 \beta -4 \alpha -v =0 \notag \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_2:Res(s_1,r_4,\delta); \quad s_2=3 {{\gamma }^{2}}+...+7 v \alpha +{{v}^{2}}-10 =0\notag \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_3:Res(s_2,r_3,\gamma); \quad s_3=160 {{\beta }^{6}}+\left( 1080 \alpha +336 v\right) {{\beta }^{5}}+...=0\notag \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_4:Res(s_3,r_2,\beta); \quad s_4= ......\notag \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_5:Res(s_4,r_1,\alpha); \quad s_5={{v}^{120}}-3000 {{v}^{118}}+4350000 {{v}^{116}}+....=0 \\ \end{align}
そこで改めて、式(11)の \(v\) を \(x\) に変えて \(V(x)\) を定義します。 更に、\(V(x)\) はmaximaで因数分解すると、式(12)の様に、24個の5次の多項式に因数分解されます。
\begin{align} V(x) &\equiv {{x}^{120}}-3000 {{x}^{118}}+4350000 {{x}^{116}}+.......\notag \\ &=\bbox[#FFFF00]{ (x^5-125x^3+2500x-4375) }(x^5-125x^3+2500x+4375)\times.... \notag \\ &\times (x^5-125x^3+800x^2-1750x+1225)\\ \end{align}
\begin{align} &\ \bbox[#FFFF00]{ g_0(x) \equiv x^5-125x^3+2500x-4375 } \\ \notag \\ &\therefore \ g_0(v)=v^5-125v^3+2500v-4375= 0\\ \end{align}
次ページに続く
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