数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【第4章】超クール！終結式
\( \quad \)
\(\qquad \qquad \qquad f(x)=x^3-3x+1 \qquad Galois \ Group:A_3\)
\( \quad \)
▶ Page 1, 2, 3, 4 ▶ Sample Program
【4-3】最小多項式 \(g_0(x)\) の根と代数体上での因数分解
さて、突然ですが、第2の「魔法の計算法」を紹介します。具体的には、最小多項式 \(g_0(v)\) で定義された代数体 \(F_0(v)\) で \(f(x)\) を因数分解する計算技法です。 この計算は「Tragerアルゴリズム」と呼ばれる計算方法で、かなり複雑なので、その理屈は次章にまわします。
理屈は複雑ですが、代数計算ソフトmaximaには、この因数分解記法が関数の形で用意されており、
\(factor(p,q)\) という計算命令になっております。
この命令の意味は、既約多項式 \(q\) で生成される代数体の中で、多項式 \(p\) を因数分解しなさいという命令です。
実際にmaximaを使って、方程式 \(f(x)\)を\(v\) の最小多項式 \(g_0(v)\) が作る代数体 \(F_0(v)\) 上で 因数分解してみましょう。以下の(3.1)が問題の因数分解命令で、(3.2)が因数分解された結果です。
従って方程式 \([ \ f_g=0 \ ]\) の解は(3.4)となります。
\begin{align} &f_g:factor(f(x),g_0(v)); \\ \notag \\ &\Rightarrow \quad f_g=\frac{\left( 3 x-2 {{v}^{2}}+3 v+12\right) \, \left( 3 x+{{v}^{2}}-6\right) \, \left( 3 x+{{v}^{2}}-3 v-6\right) }{27} \\ \notag \\ &solve(f_g,x); \\ \notag \\ &\Rightarrow \quad \left[ \ x_1=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+v+2, \quad x_2=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+2, \quad x_3=\frac{2 {{v}^{2}}}{3}-v-4 \ \right]\\ \end{align}
但し、 \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma \ \}\) と \(\{x_1,x_2,x_3\}\) は、お互い 1対1対応はついておりませんので、以下にその対応を付ける計算をします。
そこで、原始元の定義と同じ形式で、 \( w = x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3} \) と定義して、 \(\{x_1,x_2,x_3\}\) のあらゆる順序の組み合わせを 考えます。その為に \(\{x_1,x_2,x_3\}\) を置換させる対称群 \(S_3\) の元 \(\{\tau_i\}\) で 置換生成した \(\{w_1,w_2,...,w_6\}\) が(3.6)となります。この \(\{w_i\}\) の \(\{x_1,x_2,x_3\}\) に(3.4)を代入して 計算した結果が、(3.7)となります。 \(\{x_i\}\) の置換なので \(\{\sigma_i\}\) でなく敢えて \(\{\tau_i\}\) という文字を使いました。
\begin{align} &w = x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3} \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} &\tau_1 (w)=w_1=x_1+2x_2+3x_3 & &\tau_2 (w)=w_2=x_1+2x_3+3x_2 \\ &\tau_3 (w)=w_3=x_2+2x_1+3x_3 & &\tau_4 (w)=w_4=x_2+2x_3+3x_1 \\ &\tau_5 (w)=w_5=x_3+2x_1+3x_2 & &\tau_6 (w)=w_6=x_3+2x_2+3x_1 \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} &w_1= {{v}^{2}}-2 v-6 & &w_2= -v \\ &w_3= {{v}^{2}}-v-6 & &\bbox[#FFFF00]{w_4= v } \\ &w_5=-{{v}^{2}}+v+6 & &w_6= -{{v}^{2}}+2 v+6 \end{array} \right. \\ \end{align}
従って、3根 \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma \ \}\) の多項式表現は(3.8)となります。 この多項式表現を(2.2)に代入すると(3.9)に示すように \(\{v_i\}\) の \(v\) による多項式表現も求める事が出来ます。
\begin{align} &\alpha=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+2 \qquad \beta= \frac{2 {{v}^{2}}}{3}-v-4 \qquad \gamma= -\frac{{{v}^{2}}}{3}+v+2 \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} &\sigma_1 (v)={v_1}=v & &\sigma_2 (v)={v_2}={{v}^{2}}-v-6 \\ &\sigma_3 (v)={v_3}= -{{v}^{2}}+2 v+6 & &\sigma_4 (v)={v_4}= -{{v}^{2}}+v+6 \\ &\sigma_5 (v)={v_5}= {{v}^{2}}-2 v-6 & &\sigma_6 (v)={v_6}=-v \\ \end{array} \right. \end{align}
\(V(v_2)\) は\(v\)の12次の多項式となりますが、計算は拡大体 \(F_0(v)\) の中で行われるので、 \(( \ mod \ g_0(v) \ )\) の計算をすると、ゼロとなり \(v_2\) が \(V(x)\) の根である事が判りました。
同様な計算をすると、(3.9)の \(v_i\) は全て \(V(x)\) の根である事が判りました。
\begin{align} V(v_2)&=v_2^6-18v_2^4+81v_2^2-81 \notag \\ \notag \\ &={{v}^{12}}-6 {{v}^{11}}-21 {{v}^{10}}+160 {{v}^{9}}+177 {{v}^{8}}-1734 {{v}^{7}}-935 {{v}^{6}}+9612 {{v}^{5}} \notag \\ &\quad +4491 {{v}^{4}}-27378 {{v}^{3}}-16443 {{v}^{2}}+32076 v+26163 \notag \\ &=0 \qquad ( \ mod \ g_0(v) \ )\\ \notag \\ V(v_1)&=V(v_2)=V(v_3)=V(v_4)=V(v_5)=V(v_6)=0 \quad ( \ mod \ g_0(v) \ )\\ \end{align}
では、\(v\) の最小多項式 \(g_0(x)\) の根はなんでしょう？
\(V(x)\) の根 \(\{ \ v_1,v_2,..,v_6 \ \}\) の多項式表現(3.9)を \(g_0(x)\) に 代入した結果が(3.12)です。 計算の際、拡大体 \(F_0(v)\) の中で計算するので \(( \ mod \ g_0(v)) \ \) を取る事に 注意する必要があります。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &g_0(v_1)={{v}^{3}}-9 v-9= 0 \\ &g_0(v_2)={{v}^{6}}-3 {{v}^{5}}-15 {{v}^{4}}+35 {{v}^{3}}+81 {{v}^{2}}-99 v-171=-18 \\ &g_0(v_3)={{v}^{6}}-3 {{v}^{5}}-15 {{v}^{4}}+35 {{v}^{3}}+81 {{v}^{2}}-99 v-171=-18 \\ &g_0(v_4)=-{{v}^{6}}+3 {{v}^{5}}+15 {{v}^{4}}-35 {{v}^{3}}-81 {{v}^{2}}+99 v+153=0 \\ &g_0(v_5)={{v}^{6}}-6 {{v}^{5}}-6 {{v}^{4}}+64 {{v}^{3}}+27 {{v}^{2}}-198 v-171=0 \\ &g_0(v_6)=-{{v}^{3}}+9 v-9=-18 \end{array} \right. \\ \end{align} \begin{align} \therefore \quad g_0(v_1)&=g_0(v_4)=g_0(v_5)=0 \\ g_0(v_2)&=g_0(v_3)=g_0(v_6)=-18 \\ \end{align}
ここでもう一度、最小多項式 \(g_0(x)\) によって生成される単拡大 \(F_0(v)\) に関して、ガロア拡大の条件[1][2]に関して考察すると下記の様になります。
条件[2]： \(\{v_1,v_4,v_5\} \) は \(v\) の多項式で表現されている。従って、\(F_0(v)\) は、最小多項式 \(g_0(x)\) の全ての根を含んでいる体である。 従って \(F_0(v)/F_0\) は正規拡大である。
以上より \(F_0(v)\) は条件[1][2]を満足しているので、 \(F_0(v)/F_0\) はガロア拡大である。