数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【第4章】超クール！終結式
\( \quad \)
\(\qquad \qquad \qquad f(x)=x^3-3x+1 \qquad Galois \ Group:A_3\)
\( \quad \)
▶ Page 1, 2, 3, 4 ▶ Sample Program
【4-4】 写像 \(\rho_i\) が群構造を持つことの確認
\(F_0(v)\) は \(F_0\) のガロア拡大である事がわかったので、ガロア理論では次のことが言えます。「 \(F_0(v)\) には原始元 \(v\) を \(g_0(x)\) の共役根に変換する自己同型写像が共役根の数だけ存在して、 この自己同型写像は群をなす。」
この節ではそれを確かめます。 そこで、(4.1)で定義される \(\{\rho_1, \rho_4,\rho_5\}\) を自己同型写像の候補として考える事にします。 この式は(3.9)の \(v_i\) の多項式表現を写像だと考えたものです。
以下この \(\rho_i\) が、交代群 \(A_3( \cong C_3)\) と等価である事や、共役根同士の自己同型写像になっている事を確認します。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \rho_{1}(v) &\equiv v_1= v \\ \rho_{4}(v) &\equiv v_4= -{{v}^{2}}+v+6 \\ \rho_{5}(v) &\equiv v_5= {{v}^{2}}-2 v-6 \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
先ず、(4.1)で定義された \(\rho_i(v)\) が自己同型写像として群をなすことを確認してゆきます。
その為には、 \(\rho_i \circ \rho_j = \rho_k\) の積表を作成して、写像同士の積が群をなしているかどうかを検証する必要があります。 具体的な計算例として \(\rho_5 \circ \rho_4=\rho_1\) の計算過程を以下に示します。
ここで注意しなくてはいけない事は、写像 \(\rho_i\) の写像の対象はあくまでも \(v\) です。
\begin{align} \rho_5 \circ \rho_4(v)&=\rho_5(v_4)=\rho_5(-v^2+v+6) \notag \\ &=-\rho_5(v^2)+\rho_5(v)+\rho_5(6)=-\rho_5(v) \cdot \rho_5(v)+\rho_5(v)+6 \notag \\ &=-v_5^2+v_5+6=-(v^2-2v-6)^2+(v^2-2v-6)+6 \notag \\ &=-{{v}^{4}}+4 {{v}^{3}}+9 {{v}^{2}}-26 v-36=v \quad ( \ mod \ g_0(v) \ ) \notag \\ &=v_1=\rho_1(v) \notag \\ \end{align} \begin{align} & \therefore \ \rho_5 \circ \rho_4(v)=\rho_5(v_4)=v=v_1=\rho_1(v) \\ &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &\qquad \rho_5 \circ \rho_4=\rho_1 \qquad \rho_5(v_4)=v_1\\ \end{align}
(4.2)の式より、2つの関係(4.3)が成り立ちます。以上の計算を \(\{\rho_i\}\) 全ての 組み合わせで計算した結果が【表4-1】【表4-2】です。
| \( i \backslash j \) | \(\rho_1\) | \(\rho_4\) | \(\rho_5\) |
|---|---|---|---|
| \(\rho_1\) | \(\rho_1\) | \(\rho_4\) | \(\rho_5\) |
| \(\rho_4\) | \(\rho_4\) | \(\rho_5\) | \(\rho_1\) |
| \(\rho_5\) | \(\rho_5\) | \(\rho_1\) | \(\rho_4\) |
| \( i \backslash j \) | \(v_1\) | \(v_4\) | \(v_5\) |
|---|---|---|---|
| \(\rho_1\) | \(v_1\) | \(v_4\) | \(v_5\) |
| \(\rho_4\) | \(v_4\) | \(v_5\) | \(v_1\) |
| \(\rho_5\) | \(v_5\) | \(v_1\) | \(v_4\) |
以上の計算結果より、写像 \(\{\rho_1,\rho_4,\rho_5\}\) は、 \(v\) をその共役根に変換する自己同型写像であり かつ交代群 \(A_3 \ (\cong C_3)\) と等価な群の性質を持っている事が判りました。
従って自己同型写像候補であった \(\{\rho_i\}\) をガロア群 \(Gal(F_0(v)/F_0) \) として良い事が判りました。
【4-5】写像 \(\rho_i\) の \(\{\alpha,\beta,\gamma\}\) に対する置換作用
同型写像の \(\{\rho_{1}, \rho_{4},\rho_{5}\}\) が3根 \(\{\alpha,\beta,\gamma\}\) に対して、どの様に 作用するのかを確かめてみます。 具体例として \(\rho_4(\beta)\) を(5.1)と【表4-2】を使って計算してみます。\begin{align} \beta&=\frac{2v^2}{3}-v-4, \qquad v_4=-v^2+v+6 \\ \notag \\ \rho_4(\beta)&=\rho_4\left(\frac{2v^2}{3}-v-4 \right)=\frac{2v_4^2}{3}-v_4-4 \\ &=\frac{2(-v^2+v+6)^2}{3}-(-v^2+v+6)-4 \notag \\ &=\frac{2 {{v}^{4}}}{3}-\frac{4 {{v}^{3}}}{3}-\frac{19 {{v}^{2}}}{3}+7 v+14\notag \\ &=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+v+2=\gamma \quad ( \ mod \ g_0(v) \ ) \\ \therefore \ \rho_4(\beta)&=\gamma\\ \end{align}
| \( \ \) | \(\rho_i(\alpha)\) | \(\rho_i(\beta)\) | \(\rho_i(\gamma)\) |
|---|---|---|---|
| \(\rho_1\) | \(\alpha\) | \(\beta\) | \(\gamma\) |
| \(\rho_4\) | \(\beta\) | \(\gamma\) | \(\alpha\) |
| \(\rho_5\) | \(\gamma\) | \(\alpha\) | \(\beta\) |
全ての \(\rho_i\) が、 \(\{\ \alpha,\beta,\gamma \ \}\)に対してどの様に作用するか 同様に計算してみたのが【表4-3】です。
写像 \(\rho_i\) は交代群 \(A_3\) の元 \(\sigma_1\sigma_4,\sigma_5\) が \(\{\ \alpha,\beta,\gamma \ \}\) に対する置換操作と 全く同一である事が判ります。
本来写像 \(\rho_i\) は \(v\) を共役根に写像するものであったのですが、その写像機能は元の方程式の根 \(\{\ \alpha,\beta,\gamma \ \}\)に対しても、写像の機能が間接的に及んでいるというところが面白いです。
とにかく写像 \(\rho_i\) は写像っぽいところがいかにも自己同型写像という名前にふさわしい気がします。 \(\sigma_i\) の置換演算子の雰囲気とは違いますね。（本当は全く同じなんですけど、、、） まとめる以下となります。
\begin{align}
Gal(F_0(v)/F_0)= A_3=\{\rho_1,\rho_4,\rho_5\} \cong C_3
\end{align}