数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【7-1】円分方程式 \(\Phi_{17}(x)\) の設定
円分多項式は巡回多項式の典型的な例です。そこで代数体上の因数分解の応用を円分多項式 \(\Phi_{17}(x)\) を使って 具体的に計算してみます。 これ以降は、以下のように式に対する文字を使い分けます。・円分多項式だと強調したい場合：\(\Phi_{17}(x)\)を使用する
・最小多項式だと強調したい場合：\(g_0(x)\)を使用する。勿論 \([ \ \Phi_{17}(x)=g_0(x), \ g_0(v)=0 \ ]\) です。
・基礎体を\(F_0\)とします。 勿論 \([ \ F_0 \equiv Q \ ]\) です。
それでは、この \(g_0(v)\) で生成される代数体 \(F_0(v)\) の中で \(\Phi_{17}(x)\) を、 maximaの命令 \(factor(p,q)\) で因数分解すると(1.3)となります。
\begin{align} &x^{17}-1=(x-1) \times \Phi_{17}(x) \notag \\ \notag \\ &\Phi_{17}(x) =( {{x}^{16}}+{{x}^{15}}+{{x}^{14}}+{{x}^{13}}+{{x}^{12}}+{{x}^{11}}+{{x}^{10}}+{{x}^{9}} \notag \\ &\qquad \qquad +{{x}^{8}}+{{x}^{7}}+{{x}^{6}}+{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1) \\ \notag \\ &Minimal \ Polynomial \ of \ v : \ g_0(x)=\Phi_{17}(x) \quad \rightarrow \quad g_0(v)=0\\ \notag \\ &factor(\Phi_{17}(x),g_0(v))=(x-v)(x-v^2)(x-v^3)(x-v^4)(x-v^5) \notag \\ &\qquad \qquad \times(x-v^6)(x-v^7)(x-v^8)(x-v^9)(x-v^{10})(x-v^{11}) \notag \\ &\qquad \qquad \times (x-v^{12})(x-v^{13})(x-v^{14})(x-v^{15}) \notag \\ &\qquad \qquad \times (x+v^{15}+v^{14}+v^{13}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^9 \\ &\qquad \qquad +v^8+v^7+v^6+v^5+v^4+v^3+v^2+v+1) \notag \\ \end{align}
(1.3)より、\(\Phi_{17}(x)\) は代数体 \(Q(v)\) の中で簡単に因数分解出来ました。従って \(\Phi_{17}(x)\) の16個の根は、簡単に求める事が出来ます。 (1.4)の \(\{v_1,v_2,...,v_{16}\}\) が \(\Phi_{17}(x)\) の16根の \(v\) の多項式表現です。 同時に\(\{ \rho_i\}\) を、ガロア拡大 \(F_0(v)/F_0\) の自己同型写像としました。この事が正しいかどうか？以下確認をしておきます。
\begin{align} \rho_{1}(v)&=v_{1}=v & \rho_{2}(v)&=v_{2}=v^{2} & \rho_{3}(v)&=v_{3}=v^{3} \notag \\ \rho_{4}(v)&=v_{4}=v^{4} & \rho_{5}(v)&=v_{5}=v^{5} & \rho_{6}(v)&=v_{6}=v^{6} \notag \\ \rho_{7}(v)&=v_{7}=v^{7} & \rho_{8}(v)&=v_{8}=v^{8} & \rho_{9}(v)&=v_{9}=v^{9} \\ \rho_{10}(v)&=v_{10}=v^{10} & \rho_{11}(v)&=v_{11}=v^{11} & \rho_{12}(v)&=v_{12}=v^{12} \notag \\ \rho_{13}(v)&=v_{13}=v^{13} & \rho_{14}(v)&=v_{14}=v^{14} & \rho_{15}(v)&=v_{15}=v^{15} \notag \\ \end{align} \begin{align} \ \rho_{16}(v)&=v_{16}=- (v^{15}+v^{14}+v^{13}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^9+v^8 \notag \\ &\qquad +v^7+v^6+v^5+v^4+v^3+v^2+v+1) \qquad (\mathrm{mod}\,g_0(v)) \notag \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ v^{17}&=v \cdot v^{16}=-v \cdot (v^{15}+v^{14}+...+v^3+v^2+v+1) \notag \\ &=-(v^{16}+v^{15}+v^{14}+v^{13}+....+v^4+v^3+v^2+v)=-(-1)=1 \notag \\ \notag \\ &\qquad \therefore v^{17}=1\\ \end{align}
\begin{align} &\rho_3 (v)=v_3=v^3 \notag \\ &\rho_3^2(v)=\rho_3(\rho_3(v))=\rho_3(v_3)=\rho_3(v^3)=(\rho_3(v))^3=(v^3)^3=v^9=v_9=\rho_9(v) \notag \\ &\rho_3^3(v)=\rho_3(\rho_3^2(v))=\rho_3(v_9)=\rho_3(v^9)=(\rho_3(v))^9=(v^3)^9=v^{27}=v^{10}=v_{10}=\rho_{10}(v) \notag \\ \end{align}
\begin{align} \rho_3^{5}(v)&=\rho_{5}(v) & \rho_3^{6}(v)&=\rho_{15}(v) & \rho_3^{7}(v)&=\rho_{11}(v) & \rho_3^{8}(v)&=\rho_{16}(v) \notag \\ \rho_3^{9}(v)&=\rho_{14}(v) & \rho_3^{10}(v)&=\rho_{8}(v) & \rho_3^{11}(v)&=\rho_{7}(v) & \rho_3^{12}(v)&=\rho_{4}(v) \notag \\ \rho_3^{13}(v)&=\rho_{12}(v) & \rho_3^{14}(v)&=\rho_{2}(v) & \rho_3^{15}(v)&=\rho_{6}(v) & \rho_3^{16}(v)&=\rho_{1}(v) \notag \\ \rho_3^{17}(v)&=\rho_{3}(v) & \rho_3^{18}(v)&=\rho_{9}(v) &...... & & & \notag \\ \end{align}
即ち \(\Phi_{17}(x)\) のガロア群は、位数16の巡回群 \(C_{16}\) である事が判りました。 これにより(1.4)で定義した \(\{\rho_i\}\) は拡大体 \(F_0(v)\) における同型写像とすることが正しいと言う事になりました。
\(\Phi_{17}(x)\) のガロア群が巡回群 \(C_{16}\) と判ったので、この \(C_{16}\) の正規部分群(Normal subgroup)、その 組成列(Composition series)、組成列を分解した各巡回拡大体の組成列を求めると以下の様になります。
\begin{align} &Gal(F_0(v)/F_0)=C_{16} \notag \\ &\quad C_{16}=\{\rho_{1}, \ \rho_{2}, \ \rho_{3}, \ \rho_{4}, \ \rho_{5}, \ \rho_{6}, \ \rho_{7}, \ \rho_{8},\notag \\ &\qquad \qquad \rho_{9}, \ \rho_{10}, \ \rho_{11}, \ \rho_{12}, \ \rho_{13}, \ \rho_{14}, \ \rho_{15}, \ \rho_{16}\} \\ \notag \\ &Normal \ subgroup \ of \ C_{16} \notag \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} C_8=\{\rho_{1}, \ \rho_{2}, \ \rho_{4}, \ \rho_{8}, \ \rho_{9}, \ \rho_{13}, \ \rho_{15}, \ \rho_{16}\} \\ C_4=\{\rho_{1}, \ \rho_{4}, \ \rho_{13}, \ \rho_{16}\} \\ C_2=\{\rho_{1}, \ \rho_{16}\}\\ {e}=\{e\} \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &Composition \ series \ of \ Galois \ group \ C_{16} \notag \\ \notag \\ &\qquad [ \ C_{16} \rhd C_8 \rhd C_4 \rhd C_2 \rhd {e} \ ]\\ \notag \\ & \qquad \Downarrow \notag \\ &Cyclic \ extensions \notag \\ \notag \\ & [ \ C_{16}/C_8 \rhd e \ ] \rightarrow [ \ C_8/C_4 \rhd e \ ] \rightarrow [ \ C_4/C_2 \rhd e \ ] \rightarrow [ \ C_2 \rhd e \ ]\\ \end{align}