ガロア理論による可解方程式の解法技術

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【7-5】巡回拡大 \(F_3/F_2\) :最小多項式 \(g_3(x)\) の計算

これまでの章で記述した計算手順に沿って計算してゆけば、\(g_3(x)\)は簡単に計算できます。

【step1】LRT(Lagrange Resolvent transformation)

\begin{align} h_0&=\prod_{\rho_i \in \ C_2}\rho_i(x-v)=(x-v_1)(x-v_{16}) \\ h_1&=\prod_{\rho_i \in \ (C_{4}-C_2)}\rho_i(x-v)=(x-v_4)(x-v_{12}) \\ \end{align} \begin{align} \notag \\ & \begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \end{bmatrix} \\ \end{align}

(5.1)(5.2)の \(\{h_0,h_1\}\) の \(v_i\) に(1.4)の \(v\) の多項式表現を代入して計算すると以下のようになります。
但し以降は \( (\mathrm{mod}\,g_2(v)) \ \rightarrow \ (\mathrm{mod}\,B_2(a_2)) \ \rightarrow \ (\mathrm{mod}\,B_1(a_1))\) で計算しなければなりません。

\begin{align} h_0&=(x-v_1)(x-v_{16}) \notag \\ &=x^2+\frac{1}{4}\biggl( 4v^3+(4a_2+2a_1+1)v^2+((2a_1-1)a_2 \notag \\ &\qquad \qquad +2a_1+3)v+4a_2+2a_1+1 \biggr)x+1 \\ h_1&=(x-v_4)(x-v_{12}) \notag \\ &=x^2-\frac{x}{4}\biggl(4v^3+(4a_2+2a_1+1)v^2+((2a_1-1)a_2+2a_1+3)v\biggr)+1 \\ \notag \\ \end{align}

(5.4)(5.5)を(5.3)に代入すると \(\{ t_0,t_1\}\) が得られます。

\begin{align} t_0&=x^2+\frac{(4a_2+2a_1+1)x}{8}+1 \quad \in \ F_2[x] \\ t_1&=\frac{x}{8}\biggl( 8v^3+(8a_2+4a_1+2)v^2+((4a_1-2)a_2+4a_1+6)v \notag \\ &\qquad \qquad +4a_2+2a_1+1 \biggr) \quad \in \ F_2(v)[x] \\ \end{align}

上式より、\(\bigl[\ t_0 \in F_2[x], \ t_1 \in F_2(v)[x] \ \bigr]\) である事が判ります。
\(t_1\) の最高次の係数を、 \(cd_m\) とします。 \(cd_m\) を使って新たな添加数 \(a_3\) を考えます。

【step2】二項方程式 \(B_3(x)=0\) と新たな添加数 \(a_3\) の生成
\begin{align} & \left\{ \begin{array}{l} t_1=cd_m \cdot q_3(x) \ \in F_2(v)[x] \\ cd_m \ \in F_2(v) \\ q_3(x)=x \ \in F_2[x] \\ \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} \tilde{t_1}=a_3 \cdot q_3(x)=a_3x \ \in F_3[x] \\ B_3(x)=x^2-A_3=0 \\ a_3=\sqrt {A_3} \ \in F_2(a_3) \equiv F_3\\ \end{array} \right. \notag \\ \end{align}

巡回拡大は2次なので、\(cd_m^2\) を計算してみます。
すると(5.9)の様に \(cd_m^2\) は \(F_2\) の数値となります。これを \(A_3\) と置きます。この \(A_3\) を使うと、新たに導入する数 \(a_3\) の満たすべき二項方程式 \(B_3(x)=0\) が定義できます。この二項方程式の冪根として \(a_3\) という新たな数を定義します。この \(a_3\) を\(F_2\) に添加する事により、拡大体 \(F_3\) を構成できることになります。

\begin{align} cd_m&=\frac{\biggl( 8v^3+(8a_2+4a_1+2)v^2+...+4a_2+2a_1+1 \biggr) }{8} \ \in \ F_2(v)\\ cd_m^2&=-\frac{{a_1} \left( 4 {a_2}+6\right) -6 {a_2}-17}{16} \equiv A_3 \quad \in \ F_2 \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ B_3(x)&\equiv x^2-A_3=0 \quad \rightarrow \quad a_3=\sqrt{A_3} \ \in \ F_3 \equiv F_2(a_3)\\ &\qquad \Downarrow \notag \\ \tilde{t_1} &\equiv a_3 \cdot q_3(x)= a_3x \quad \in F_3[x] \\ \end{align}

この新たな添加数 \(a_3\) を使うと、(5.11)の様に \(t_1\) は拡大体 \(F_3\) 上の多項式として表現できます。 \(t_1\) は、拡大体 \(F_3\) 上の多項式なので、\(t_1\) という文字ではなく、\(\tilde{t_1}\) と言う文字を使う事にします。

【step3】ILRT(Inverse Lagrange Resolvent transformation) \begin{align} &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_2(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \\ g_3(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_3[x] \end{array} \right. \notag \\ \end{align}

\(h_0\) はもともと \((x-v)\) の因子を含んでいるので、\(\tilde{h_0}\) が拡大体 \(F_3\) での新たな最小多項式 \(g_3(x)\) となります。

\begin{align} \tilde{h_0}&=t_0+\tilde{t_1} \equiv g_3(x) \\ \notag \\ g_3(x)&=x^2+\biggl(a_3+\frac{a_2}{2}+\frac{a_1}{4}+\frac{1}{8}\biggr)x+1 \\ \end{align}

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