数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【7-2】円分方程式 \(\Phi_{17}(x)=0\) の解法
組成列が決まったのでいよいよガロア理論を使った\(g_0(x)\)の拡大体での最小多項式を計算をしてゆきます。
【step0】
体の拡大系列
\(\{F_0,F_1,F_2,F_3,F_4\}\)
に対応する
群の組成列
\(\{C_{16},C_8,C_4,C_2,e\}\)
【step1】
\([F_1,C_8]\)の節の所で黄色を分割する。
緑色の部分 \(Gal(F_1/F_0)=C_{16}/C_8\)
\(F_1/F_0\)は2次巡回拡大
【step2】
\([F_2,C_4]\)の節の所で黄色を分割する。
緑色の部分 \(Gal(F_2/F_1)=C_{8}/C_4\)
\(F_2/F_1\)は2次巡回拡大
【step3】
\([F_3,C_2]\)の節の所で黄色を分割する。
緑色の部分 \(Gal(F_3/F_2)=C_{4}/C_2\)
\(F_3/F_2\)は2次巡回拡大
【step4】
step3で分割された残り
実はそれ自体が巡回拡大であった！
緑色の部分 \(Gal(F_4/F_3)=C_{2}\)
\(F_4/F_3\)は2次巡回拡大
【summary】
step0の黄色の系列が最終的には、
4つの巡回拡大に分割された。
【7-3】巡回拡大 \(F_1/F_0\) :最小多項式 \(g_1(x)\) の計算
これまでの章で記述した計算手順に沿って計算してゆけば、\(g_1(x)\)は簡単に計算できます。\begin{align} h_0&=\prod_{\rho_i \in \ C_8}\rho_i(x-v)=(x-v_1)(x-v_2)...(x-v_{15})(x-v_{16}) \\ h_1&=\prod_{\rho_i \in \ (C_{16}-C_8)}\rho_i(x-v)=(x-v_3)(x-v_5)...(x-v_{12})(x-v_{14}) \\ \end{align} \begin{align} \notag \\ & \begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \end{bmatrix} \\ \end{align}
(3.1)(3.2)の \(\{h_0,h_1\}\) の \(v_i\) に(1.4)の \(v\) の多項式表現を代入して計算すると 以下のようになる。但し以降は \( (\mathrm{mod}\,g_0(v))\) で計算しなければなりません。
\begin{align} h_0&=(x-v_1)(x-v_2)(x-v_4)(x-v_8)(x-v_9)(x-v_{13})(x-v_{15})(x-v_{16}) \notag \\ &=x^8+(v^{14}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^7+v^6+v^5+v^3+1)x^7+ .... \notag \\ &\quad +(v^{14}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^7+v^6+v^5+v^3+1)x+1 \\ h_1&=(x-v_3)(x-v_5)(x-v_6)(x-v_7)(x-v_{10})(x-v_{11})(x-v_{12})(x-v_{14}) \notag \\ &=x^8-(v^{14}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^7+v^6+v^5+v^3)x^7+ ....\notag \\ &\quad -(v^{14}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^7+v^6+v^5+v^3)x+1 \\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} t_0&=\frac{1}{2}(2x^8+x^7+5x^6+7x^5+4x^4+7x^3+5x^2+x+2) \ \in \ F_0[x]\\ t_1&= (v^{14}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^7+v^6+v^5+v^3+\frac{1}{2})\notag \\ & \times \ x(x+1)^2(x^2+1)(x^2-x+1) \ \in \ F_0(v)[x] \\ \end{array} \right. \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} t_1=cd_m \cdot q_1(x) \quad \in F_0(v)[x] \\ cd_m=(v^{14}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^7+v^6+v^5+v^3+\frac{1}{2}) \quad \in F_0(v) \\ q_1(x)=x(x+1)^2(x^2+1)(x^2-x+1) \quad \in F_0[x] \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
\(t_1\) の最高次の係数を、 \(cd_m\) とします。 \(cd_m\) を使って新たな添加数 \(a_1\) を考えます。
【step2】二項方程式 \(B_1(x)=0\) と新たな添加数 \(a_1\) の生成
\begin{align}
&t_1=cd_m \cdot q_1(x)
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
\tilde{t_1}=a_1 \cdot q_1(x) \ \in F_1[x] \\
B_1(x)=x^2-A_1=0 \\
a_1=\sqrt {A_1} \ \in Q(a_1) \equiv F_1\\
\end{array}
\right. \notag \\
\end{align}
この節での巡回拡大は2次なので、\(cd_m^2\) を計算してみます。
すると(3.7)の様に \(cd_m^2\) は \(F_0\) の数値となります。これを \(A_1\) と置きます。この \(A_1\) を使うと、新たに導入する数 \(a_1\) の満たすべき 2項方程式 \(B_1(x)=0\) が定義できます。この二項方程式の冪根として \(a_1\) という新たな数を定義します。 この \(a_1\) を基礎体 \(F_0\) に添加する事により、拡大体 \(F_1\) を構成できることになります。
\begin{align} cd_m^2&=\bigl(v^{14}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^7+v^6+v^5+v^3+\frac{1}{2} \bigr)^2=\frac{17}{4} \equiv A_1 \ \in \ F_0 \\\ &\qquad \Downarrow \notag \\ B_1(x)&=x^2-A_1=0 \quad \rightarrow \quad a_1=\sqrt{A_1} \ \in \ F_1 \equiv F_0(a_1)\\ \end{align}
\begin{align} \tilde{t_1} &\equiv a_1x(x+1)^2(x^2+1)(x^2-x+1) \ \in \ F_1[x]\\ \end{align}
\(h_0\) はもともと \((x-v)\) の因子を含んでいるので、\(\tilde{h_0}\) が 拡大体 \(F_1\) での新たな最小多項式 \(g_1(x)\) となります。
\begin{align} \tilde{h_0}&=t_0+\tilde{t_1} \notag \\ &=x^8+\frac{1}{2}(x^7+x)+\frac{5}{2}(x^6+x^2)+\frac{7}{2}(x^5+x^3)+2x^4+1 \notag \\ &+a_1x(x+1)^2(x^2+1)(x^2-x+1) \equiv g_1(x) \\ \end{align}