数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【7-6】巡回拡大 \(F_4/F_3\) :最小多項式 \(g_4(x)\) の計算
これまでの章で記述した計算手順に沿って計算してゆけば、\(g_4(x)\)は簡単に計算できます。【step1】LRT(Lagrange Resolvent transformation) \begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} h_0=(x-v_1) \\ h_1=(x-v_{16}) \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ & \begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \end{bmatrix} \\ \end{align}
(6.1)の \(\{h_0,h_1\}\) の \(v_i\) に(1.4)の \(v\) の多項式表現を代入して計算すると以下のようになります。
但し以降は \( (\mathrm{mod}\,g_3(v)) \ \rightarrow \ (\mathrm{mod}\,B_3(a_3)) \ \rightarrow \ (\mathrm{mod}\,B_2(a_2)) \ \rightarrow \ (\mathrm{mod}\,B_1(a_1)) \) で計算しなければなりません。
\begin{align} h_0&=(x-v_1)=x-v \\ h_1&=(x-v_{16})=x+v+{a_3}+\frac{{a_2}}{2}+\frac{{a_1}}{4}+\frac{1}{8} \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} t_0&=x+\frac{8a_3+4a_2+2a_1+1}{16} \quad \in \ F_3[x]\\ t_1&=-v-\frac{8a_3+4a_2+2a_1+1}{16} \quad \in \ F_3(v) \\ \end{align}
上式より、\(\bigl[\ t_0 \in F_3[x], \ t_1 \in F_3(v) \ \bigr]\) である事が判ります。 \(t_1\) を使って新たな添加数 \(a_3\) を考えます。
【step2】二項方程式 \(B_4(x)=0\) と新たな添加数 \(a_4\) の生成
\begin{align}
t_1 \ \in F_3(v)
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
\tilde{t_1}=a_4\ \in F_4 \\
B_4(x)=x^2-A_4=0 \\
a_4=\sqrt {A_4} \ \in F_3(a_4) \equiv F_4\\
\end{array}
\right. \notag \\
\end{align}
巡回拡大は2次なので、\(t_1^2\) を計算してみます。
すると(6.8)の様に \(t_1^2\) は \(F_3\) の数値となります。これを \(A_4\) と置きます。この \(A_4\) を使うと、 新たに導入する数 \(a_4\) の満たすべき二項方程式 \(B_4(x)=0\) が定義できます。 この二項方程式の冪根として \(a_4\) という新たな数を定義します。 この \(a_4\) を\(F_3\) に添加する事により、拡大体 \(F_4\) を構成できることになります。
\begin{align} t_1&= -v-\frac{8a_3+4a_2+2a_1+1}{16} \quad \in F_3(v)\\ t_1^2&=\frac{{a_1} \left( 4 {a_3}-2\right) +\left( 8 {a_2}+2\right) {a_3}+4 {a_2}-17}{32} \equiv A_4 \quad \in \ F_3 \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ B_4(x)&\equiv x^2-A_4=0 \quad \rightarrow \quad a_4=\sqrt{A_4} \ \in \ F_4 \equiv F_3(a_4)\\ &\qquad \Downarrow \notag \\ \tilde{t_1} &\equiv a_4 \quad \in F_4 \\ \end{align}
【step3】ILRT(Inverse Lagrange Resolvent transformation) \begin{align} &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_3(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \\ g_4(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_4[x] \end{array} \right. \notag \\ \end{align}
\(h_0\) はもともと \((x-v)\) の因子を含んでいるので、\(\tilde{h_0}\) が 拡大体 \(F_3\) での新たな最小多項式 \(g_4(x)\) となります。 更に \(g_4(x)\) は \(v\) の1次式の最小多項式となったので、\([ \ g_4(x)=0 \ ]\) が最終的に 求める \(v\) の値となります。
この \(v\) の値を(1.4)に代入すれば、 \(\Phi_{17}=0\) の全ての根が求まることになります。
\begin{align} &\tilde{h_0}=t_0+\tilde{t_1} \equiv g_4(x) \\ &g_4(x)=x+{a_4}+\frac{{a_3}}{2}+\frac{{a_2}}{4}+\frac{{a_1}}{8}+\frac{1}{16} \\ \notag \\ &\therefore \ v=-\biggl[{a_4}+\frac{{a_3}}{2}+\frac{{a_2}}{4}+\frac{{a_1}}{8}+\frac{1}{16}\biggr] \quad \in F_4 \\ \end{align}