数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
Profile
Name: scruta \(\quad\)
Daily life: mowing
Revision history
1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
Contact
Copyright © 2023 scruta
【9-1】破綻の例1 \(f_1(x)=x^3-2\)
ガロア理論の本に例題としてよく使われる簡単な3次方程式 (1.1)を考えます。解法の手順としては、先ずいつもの様にガロア分解式を求める事から始めます。
\begin{align} f(x)&=x^3-2 =(x-\alpha)(x-\beta)(x \ -\gamma)\\ v&=1 \cdot \alpha+2 \cdot \beta+3 \cdot \gamma \\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} f(x)=(x-\alpha)q_1(x)+r_1 \\ q_1(x)=(x-\beta)q_2(x)+r_2 \\ q_2(x)=(x-\gamma)q_3(x)+r_3 \\ r_4=v-(\alpha+2\beta+3\gamma) \\ \end{array} \right.\\ \end{align} \begin{align} \{f(\alpha)=0,\ q_1(\beta)=0, \ q_2(\gamma)=0, \ eq(1.2)\} \ \Rightarrow \ \{ \ r_1=0, \ r_2=0, \ r_3=0, \ r_4=0 \ \} \end{align}
そこで、「終結式」を使って \([\gamma \ \rightarrow \ \beta \ \rightarrow \ \alpha]\) の順に変数を消去して、 最終的には(1.5)の様に \(v\) の6次の1変数多項式まで簡略化出来ます。この式をガロア分解式 \(V(v)\) と呼びます。
\begin{align} &V(v) \equiv v^{6}+108=0 \quad \Rightarrow \quad g_0(x) \equiv V(x) \\ \end{align}
最小多項式 \(g_0(x)\) は、6次の多項式となるので、方程式 \(f(x)\) のガロア群は対称群 \(S_3\) となります。 従って組成列は \([ \ S_3 \ \triangleright \ A_3 \ \triangleright \ e \ ]\) となります。
次に \(f(x)\) の3根を \(v\) の多項式で表現します。この多項式表現を使って、対称群 \(S_3\) に対応した 同型写像 \(\{\rho_1,\rho_2,...,\rho_6\}\) の多項式表現も、いつもの通り求める事が出来ます。
\begin{align} \alpha &=-\frac{{{v}^{4}}+18 v}{36} & \beta &=\frac{{{v}^{4}}}{18} & \gamma &=-\frac{{{v}^{4}}-18 v}{36} \\ \end{align} \begin{align} \rho_{1}(v)&= {v_1}=v & \rho_{2}(v)&={v_2}=\frac{{{v}^{4}}}{12}+\frac{v}{2} & \rho_{3}(v)&={v_3}=\frac{v}{2}- \frac{{{v}^{4}}}{12} \notag \\ \rho_{4}(v)&={v_4}=-\frac{{{v}^{4}}}{12}-\frac{v}{2} & \rho_{5}(v)&={v_5}=\frac{{{v}^{4}}}{12}-\frac{v}{2} & \rho_{6}(v)&={v_6}=-v \\ \end{align}
(1) 巡回拡大 \(F_1/F_0\) の計算。計算手順は今まで説明してきたので、結果だけを示します。
Step1 LRT(Lagrange Resolvent transformation)
\begin{align}
&Gal(F_1/F_0)=S_3/A_3 \equiv C_2=\{\kappa_1,\kappa_2\} \quad \{\kappa_1,\kappa_2\}=\bigl[\{\rho_1,\rho_4,\rho_5\},\{\rho_2,\rho_3,\rho_6\} \bigr] \notag \\
\notag \\
& h_0=\prod_{\rho_i \in \kappa_1 }\rho_i(x-v)=(x-v_1)(x-v_4)(x-v_5) =x^3-v^3 \\
&h_1=\prod_{\rho_i \in \ \kappa_2}\rho_i(x-v)=(x-v_2)(x-v_3)(x-v_6) =x^3+v^3 \notag \\
\notag \\
& \begin{bmatrix}
t_0 \\
t_1
\end{bmatrix}
=\frac{1}{2}
\begin{bmatrix}
1&1 \\
1&-1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
h_0 \\
h_1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x^3 \\
-v^3
\end{bmatrix} \\
\end{align}
Step2 二項方程式 \(B_1(x)\) と新たな添加数 \(a_1\) の生成
\begin{align}
&\left\{
\begin{array}{l}
t_0 \ \in \ F_0[x] \\
t_1 \ \in \ F_0(v) \\
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
B_1(x)=x^2-A_1=0 \quad
t_1^2=A_1=-108 \in \ F_0 \\
a_1=\sqrt{A_1} \ \in \ F_0(a_1) \equiv \ F_1 \\
\end{array}
\right. \\
\end{align}
Step3 ILRT(Inverse Lagrange Resolvent transformation)
\begin{align}
&\begin{bmatrix}
\tilde{h_0} \\
\tilde{h_1 }
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&1 \\
1&-1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
t_0 \\
\tilde{t_1}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x^3+a_1 \\
x^3-a_1
\end{bmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
g_0(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \ \in \ F_0[x] \\
g_1(x) \equiv \tilde{h_0} =x^3+a_1\ \in \ F_1[x] \\
\end{array}
\right. \\
\end{align}
(2) 巡回拡大 \(F_2/F_1\) の計算。今回の拡大は3次拡大なので1の3乗根 \(\omega\) を導入します。同じく結果だけを示します。
Step1 LRT(Lagrange Resolvent transformation)
\begin{align}
&Gal(F_2/F_1)=A_3/e \equiv C_3=\{\rho_1,\rho_4,\rho_5\} \notag \\
\notag \\
&\left\{
\begin{array}{l}
h_0=\rho_1(x-v)=(x-v_1) \\
h_1=\rho_4(x-v)=(x-v_4) \\
h_2=\rho_5(x-v)=(x-v_5) \\
\end{array}
\right. \\
\end{align}
\begin{align}
\notag \\
&\begin{bmatrix}
t_0 \\
t_1 \\
t_2
\end{bmatrix}
=\frac{1}{3}
\begin{bmatrix}
1&1&1 \\
1&\omega&\omega^2\\
1&(\omega^2)&(\omega^2)^2\\
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
h_0 \\
h_1 \\
h_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x-v \\
-\frac{-12 x+{a_1} v-6 v}{12}\\
\frac{12 x+{a_1} v+6 v}{12}
\end{bmatrix} \\
\end{align}
Step2 二項方程式 \(B_2(x)\) と新たな添加数 \(a_2\) の生成
\begin{align}
&\left\{
\begin{array}{l}
t_0 \ \in \ F_1[x] \\
t_1 \ \in \ F_1(v) \\
t_2 \ \in \ F_1(v) \\
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
t_1^3=A_2=-6 \omega +\frac{{a_1}}{2}-3 \in \ F_1 \\
B_2(x)=x^3-A_2=0 \\
a_2=\sqrt[3]{A_2} \ \in \ F_1(a_2) \equiv \ F_2 \\
\end{array}
\right. \\
\end{align}
ここまでは、順調に計算してきましたが、問題はこれからです。
\(t_2\) も \(t_1\) と同様に \(F_2\) の元として表現する必要があります。 その際に以下の(1.15)を使って計算するわけですが、この際 \( A_2^{-1}\) を計算する必要があります。
\begin{align} t_2=\frac{t_1 \cdot t_2}{t_1}=\frac{t_1^2\cdot (t_1t_2)}{t_1^2\cdot t_1} =\frac{t_1^2\cdot (t_1t_2)}{t_1^3}=\frac{a_1^2 \cdot (-3)}{A_2} =-\frac{3a_2^2}{A_2} \end{align}
逆数下記のように定義して \( A_2 \cdot A_2^{-1} =1\) という条件で逆数の係数 \(\{c_i\}\) を求める連立方程式を 作成すると、以下のような方程式となり行列のランクが6となり、方程式が解けなくなってしまう事が判りました。
\begin{align} A_2^{-1}&={a_1} {c_{11}} {{v}^{2}} \omega +{c_{10}} {{v}^{2}} \omega +{a_1} {c_7} v \omega +{c_6} v \omega +{a_1} {c_3} \omega +{c_2} \omega +{a_1} {c_9} {{v}^{2}} \notag \\ &+{c_8} {{v}^{2}}+{a_1} {c_5} v+{c_4} v+{a_1} {c_1}+{c_0} \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} &\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & -54 & -6 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 3 & 0 & -6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 0 & -3 & -54\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & \frac{1}{2} & -3\\ -\frac{1}{2} & -3 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \frac{1}{36} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{18} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -6 & -\frac{1}{2} & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \frac{1}{18} & 0 & -\frac{1}{36} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -3 & 0 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{36} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{18} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -6 & -\frac{1}{2} & 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{18} & 0 & -\frac{1}{36} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {c_0}\\{c_1}\\{c_2}\\{c_3}\\{c_4}\\{c_5}\\{c_6}\\{c_7}\\{c_8}\\{c_9}\\{c_{10}}\\{c_{11}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \\ \end{align}
この現象は、今まで説明してきた方程式の解法アルゴリズムが破綻した事を示しているのでしょうか？
いえいえ、ガロア流方程式の解法はそんなヤワなアルゴリズムではありません。続きは次の節で。