数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【9-6】\(Gal(F_0(v)/F_0)\)の決定
これ以降の計算では、基礎体\(F_0\) を\(F_0 \equiv Q(\zeta)\) とします。前節で求めた \(\{ \ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 \ \}\) と、 \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma, \ \delta, \ \epsilon \}\) の対応を付けます。
\([ \ w = x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4x_{4}+5x_{5} \ ] \) として、対称群 \(S_5\) の元 \(\tau_i\) で \(\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\}\) の並びを置換させます。 置換生成した \(\{w_1,w_2,...,w_{120}\}\) が(6.2)となります。ここでは、 \(\{x_i\}\) の置換なので敢えて \(\{\sigma_i\}\) でなく \(\{\tau_i\}\) という文字を使いました。
\begin{align} &w = x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4x_{4}+5x_{5} \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \tau_1 (w)=w_1=x_1+2x_2+3x_3+4x_{4}+5x_{5} & &\tau_2 (w)=w_2=x_1+2x_2+3x_3+4x_{5}+5x_{4} \\ \tau_3 (w)=w_3=x_1+2x_2+3x_4+4x_{3}+5x_{5} & &\tau_4 (w)=w_4=x_1+2x_2+3x_4+4x_{5}+5x_{3} \\ \qquad ....... & & \\ \tau_{119} (w)=w_{119}=x_5+2x_4+3x_3+4x_{1}+5x_{2} & &\tau_{120} (w)=w_{120}=x_5+2x_4+3x_3+4x_{2}+5x_{1} \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
この \(\{w_i\}\) の \(\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\}\) に(5.7)の \(v\) の多項式表現を代入して、その値が丁度 \(v\) になる 置換 \(\tau_{i}\) 探します。その結果、(6.3)の様にたまたま \(\tau_{1}\) が求める置換となりました。 従って対応関係は、(6.4)の様になります。
\begin{align} &\tau_{1} (w)=w_{1}=x_1+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}+5x_{5} =v \\ \notag \\ &\therefore \ \ \alpha=x_1(v), \quad \beta=x_2(v), \quad \gamma=x_3(v), \quad \delta=x_4(v), \quad \epsilon=x_5(v) \end{align}
方程式の5根 \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma, \ \delta, \ \epsilon \}\) の \(v\) による多項式表現が決定したので、 これを使って、最小多項式 \(g_0(x)\) の根を求めてゆきます。まず(6.5)の \(v\) に、 \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma, \ \delta, \ \epsilon \}\) の 置換を引き起こす5次の対称群 \(S_5\) の元 \(\sigma_i\) を作用させて \([ \ \sigma_i(v)=v_i \ ]\) を生成します。
\begin{align} &v = \alpha+2 \beta+3 \gamma+4\delta+5\epsilon \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1 (v)=v_1=\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta+5\epsilon & &\sigma_2 (v)=v_2=\alpha+2\beta+3\gamma+4\epsilon+5\delta \\ \sigma_3 (v)=v_3=\alpha+2\beta+3\delta+4\gamma+5\epsilon & &\sigma_4 (v)=v_4=\alpha+2\beta+3\delta+4\epsilon+5\gamma \\ \qquad ....... & & \\ \sigma_{119} (v)=v_{119}=\epsilon+2\delta+3\gamma+4\alpha+5\beta & &\sigma_{120} (v)=v_{120}=\epsilon+2\delta+3\gamma+4\beta+5\alpha \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ \end{align}
更に \(\sigma_i(v)=v_i\) の対応を流用して、最小多項式の根の同型写像の候補としての \(\rho_i\) を(6.8)のように定義します。
\begin{align} \notag \\ &g_0(v_i)=0 \quad i=[1,8,27,38,53,68,83,94,113,120] \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ &\sigma_i(v)=v_i \quad \rightarrow \quad \rho_i(v) \equiv v_i \quad i=[1,8,27,38,53,68,83,94,113,120]\\ \end{align}
ガロア理論では、(6.9-10)に示すように、ガロア群 \(D_5\) の組成列は3つの群 \(\{D_5,C_5,e\}\) となり、 その群に対応する3つの体 \(\{F_0,F_1,F_2\}\) が存在します。 この時、体の拡大 \(\{F_1/F_0, / F_2/F_1\}\) はそれぞれガロア拡大となります。
それぞれの拡大次数は(6.11-12)に示すように素数の2と5です。素数次の拡大は巡回拡大（冪根拡大）となります。 この巡回拡大を続けてゆくと、\(v\) の最小多項式の次数は、10次から1次まで減少します。 最終的には、1次の最小多項式の解が原始根 \(v\)の値となり、この値を使って \(f(x)\) の根を求める事が出来ます。
\begin{align} &Gal(F_0(v)/F_0) =\{\rho_{1}, \rho_{8},..., \rho_{113}, \rho_{120}\} =D_5 \quad \ Galois \ group \ of \ F_0(v)/F_0 \notag \\ \notag \\ & \ Composition \ series \ of \ Galois \ group \ D_5 \notag \\ \end{align} \begin{align} &D_5 & &\rhd & &C_5 & &\rhd & &e \\ &\updownarrow & & & &\updownarrow & & & &\updownarrow \notag \\ &F_0 & &\rightarrow & &F_1 & &\rightarrow & &F_2 \ ( \ = F_0(v)) \\ \end{align} \begin{align} & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ & Galois \ extension & & & &Galois \ Group \notag \\ \notag \\ &[1] \quad [ \ F_1:F_0 \ ]=2 & &\rightarrow & &Gal(F_1/F_0) = D_5/C_5 \cong C_2 \\ \notag \\ &[2] \quad [ \ F_2:F_1 \ ]=5 & &\rightarrow & &Gal(F_2/F_1) = C_5/e \cong C_5 \\ \end{align}
【9-7】巡回拡大 \(F_1/F_0\)
(6.11)の巡回拡大を計算してゆきます。この巡回拡大は(7.1)に示すように2次の巡回拡大となります。剰余群 \(\{\kappa_1,\kappa_2\}\) はそれぞれ5つの元で構成されるので、\(\{h_0,h_1\}\) は(7.2)のように 5次の多項式となります。
いつもの様に、この2つの多項式に Lagrange Resolvent transformation を施すと、\(\{h_0,h_1\}\) は(7.3)となります。
Step1 LRT(Lagrange Resolvent transformation)
\begin{align} &Gal(F_1/F_0)=D_5/C_5 \equiv C_2=\{\kappa_1,\kappa_2\} \\ &\{\kappa_1,\kappa_2\}=\bigl[ \{\rho_{1},\rho_{38},\rho_{53},\rho_{94},\rho_{113}\},\{ \rho_{8},\rho_{27},\rho_{68},\rho_{83},\rho_{120} \} \bigr] \notag \\ \notag \\ & h_0=\prod_{\rho_i \in \kappa_1 }\rho_i(x-v)=x^5-(55\zeta^3+55\zeta^2+90)x^3+...+90v^3-2225v \\ &h_1=\prod_{\rho_i \in \ \kappa_2}\rho_i(x-v)=x^5-(55\zeta^3+55\zeta^2+90)x^3+...-90v^3+2225 \notag \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ &\begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^5-(55\zeta^3+55\zeta^2+90)x^3+....\\ -v^5+ (55\zeta^3+55\zeta^2+90)v^3-.... \\ \end{bmatrix} \\ \end{align}
(7.3)で求めた \(t_1\) は \(F_0(v)\) の元ですが、2乗すると(7.4)の様に \(F_0\) の元となる事が判ります。この値を \(A_1\) と置くことにより、\(t_1\) は二項方程式 \(B_1(x)=0\) の根を \(a_1\) と定義できます。
この事により \(t_1\) を \(F_1\) の要素として \( \tilde{t_1} =a_1\) と記述できます。
Step2 二項方程式 \(B_1(x)\) と新たな添加数 \(a_1\) の生成
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} t_0 \ \in \ F_0[x] \\ t_1 \ \in \ F_0(v) \\ \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} t_1^2=A_1=-134208800 {{\zeta }^{3}}-134208800 {{\zeta }^{2}} \\ \qquad \qquad -217154400 \in \ F_0 \\ B_1(x)=x^2-A_1=0 \\ a_1=\sqrt{A_1} \ \in \ F_0(a_1) \equiv \ F_1 \quad \Rightarrow \quad \tilde{t_1} =a_1\\ \end{array} \right. \\ \end{align}
最終的には、上記 \( \tilde{t_1}\) と \(t_0\) を使い、Inverse Lagrange Resolvent transformation によって、 (7.6)の様に \(F_1\)上の \(v\) の最小多項式 \(g_1(x)\) を求める事が出来ます。
Step3 ILRT(Inverse Lagrange Resolvent transformation)
\begin{align} \begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1 } \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \end{bmatrix} \\ \notag \\ g_1(x) &\equiv \tilde{h_0}=x^5-(55\zeta^3+55\zeta^2+90)x^3 \notag \\ &+(1375\zeta^3+1375\zeta^2+2225)x+a_1 \ \in \ F_1[x] \\ \end{align}