\begin{align} \setCounter{0} & ● 3次方程式 \notag \\ f(x)&=x^3-3x-1=0 \qquad (井汲景太氏が取り上げた方程式) \\ &factor(p,q)= (x-a)(x+a^2-2)(x-a^2+a+2) \notag \\ \notag \\ f(x)&= x^3-3x+1=0 \\ &\qquad (【例題2】、1970年東北大学文系、1997年早稲田大学理工学部) \notag \\ & factor(p,q)=(x-a)(x-a^2+2)(x+a^2+a-2) \notag \\ \notag \\ f(x)&= x^3+3x^2-1=0 \qquad(1990年東大文系) \\ &factor(p,q)=(x-a)(x-a^2-2a+2)(x+a^2+3a+1) \notag \\ \notag \\ f(x)&= x^3+x^2-2x-1=0 \qquad(1997年東京都立大) \\\ & factor(p,q)=(x-a)(x-a^2+2)(x+a^2+a-1) \notag \\ \notag \\ & ● 4次方程式 \notag \\ f(x)&= x^4+2x^2-4x+2=0 \\ &factor(p,q)=\frac{1}{9}(x-a)(x+a^3+a^2+3a-2)\notag \\ &\qquad \qquad \times (3x-4a^3-2a^2-9a+10)(3x+a^3-a^2+3a-4)\notag \\ \notag \\ f(x)&= x^4-4x^2+2=0 \qquad (1997年早稲田大学理工学部) \\ &factor(p,q)=(x-a)(x+a)(x-a^3+3a)(x+a^3-3a) \notag \\ \notag \\ & ● 5次方程式 \notag \\ f(x)&= x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1=0 \\ &factor(p,q)=(x-a)(x-a^2+2)(x-a^3+3a) \notag \\ &\qquad \qquad \times (x-a^4+4a^2-2)(x+a^4+a^3-3a^2-2a+1) \notag \\ \notag \\ f(x)&= x^5-10x^3+5x^2+10x+1=0 \quad (【例題3】) \\ &factor(p,q)=\frac{1}{2401}(x-a)(7x-4a^4+2a^3+39a^2-36a-22)\notag \\ &\qquad \qquad\times (7x-a^4-3a^3+8a^2+19a-9) \notag \\ &\qquad \qquad \times (7x+2a^4-a^3-23a^2+18a+25)\notag \\ &\qquad \qquad \times (7x+3a^4+2a^3-24a^2+6a+6)\notag \\ \notag \\ & ● 6次方程式 \notag \\ f(x)&= x^6+x^3+1=0 \\ &factor(p,q)=(x-a)(x-a^2)(x-a^4) (x+a^4+a)(x-a^5)(x+a^5+a^2) \notag \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} &f(x)=x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1\notag \\ &factor(p,q) =(x-a)(x-a^2+2)(x-a^3+3a) \notag \\ &\qquad \qquad \times (x-a^4+4a^2-2)(x+a^4+a^3-3a^2-2a+1) \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} x_1=a \qquad x_2=a^2-2 \qquad x_3=a^3-3a \\ x_4=a^4-4a^2+2 \qquad x_5=-a^4-a^3+3a^2+2a-1 \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \mu(a)=&a^2-2&=x_2 \\ \mu^2(a)=&{{\left( {{a}^{2}}-2\right) }^{2}}-2=a^4-4a^2+2&=x_4 \\ \mu^3(a)=&{{\left( {{a}^{4}}-4 {{a}^{2}}+2\right) }^{2}}-2=a^3-3a&=x_3 \\ \mu^4(a)=&{{\left( {{a}^{3}}-3 a\right) }^{2}}-2=-a^4-a^3+3a^2+2a-1&=x_5 \\ \mu^5(a)=&{{\left( -{{a}^{4}}-{{a}^{3}}+3 {{a}^{2}}+2 a-1\right) }^{2}}-2=a&=x_1 \\ \mu^6(a)=&(a)^2-2&=x_2 \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &\therefore \quad \mu^5 = e \\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} h_0=(x-x_1)=(x-a) \\ h_1=(x-x_2)=(x-a^2+2) \\ h_2=(x-x_4)=(x-a^4+4a^2-2) \\ h_3=(x-x_3)=(x-a^3+3a) \\ h_4=(x-x_5)=(x+a^4+a^3-3a^2-2a+1) \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
【参考文献、参考サイト】
・「ガロアを読む」 倉田令二朗著 §12 「巡回方程式とアーベル方程式」
・Period-Mathematics氏 「解の巡回」にとどめを刺す！～ガロア理論による背景の完全解明～
https://period-mathematics.hatenablog.com/entry/2019/05/03/181220
・Period-Mathematics氏 巡回多項式を代数的に解く
https://period-mathematics.hatenablog.com/entry/2019/05/04/194452
・「解の巡回」- 私的数学塾 （非常に詳しい説明です）
http://shochandas.xsrv.jp/solution/solution3.htm
岩波数学辞典(1969年)の「ガロア理論」の説明の中に、上記に関連する説明が10行ほど記述されております。そこには、
「Abel方程式」、「巡回方程式」、「Galois方程式」と言う言葉が出てきます。多分、それぞれ微妙に
違うと思うのですが、私には、その違いを上手く説明できません。済みません。