【例題2】の解法手順
EX2-1\begin{align*} &f(x)=3x^3-3x+1 \quad \{\alpha,\beta,\gamma\}: \ roots \ of \ f(x)\\ &Primitive \ element \quad v=1\cdot\alpha+2\cdot \beta+3\cdot\gamma \end{align*}
\[\qquad The \ system \ of \ equations\]
\[ \qquad \left\{ \begin{array}{l} \alpha^3-3\alpha+1=0\\ \beta^2+\alpha\beta+\alpha^2-3=0\\ \alpha+\beta+\gamma=0\\ v-(\alpha+2\beta+3\gamma)=0 \end{array} \right.\\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \]
\[\qquad Elimination \ Theory\]
\[ \qquad V(v)= v^6-18v^4+81v^2-81 \\ \qquad \qquad =\left( {{v}^{3}}-9 v-9\right) \, \left( {{v}^{3}}-9 v+9\right) \]
\[g_{0}(x)=x^3-9x-9 \]
\[ g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\omega) \]
\[Factorization \ of \ f(x) \ on \ F_0(v)\] \[\quad "maxima's \ function \ "\] \[\qquad factor(f(x),g_0(v))\]
\begin{align*} \alpha&=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+2 & \beta&=\frac{2 {{v}^{2}}}{3}-v-4\\ \gamma&=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+v+2 & & \end{align*}
\begin{align*} v_{1}&=v & v_{2}&={{v}^{2}}-v-6\\ v_{3}&=-{{v}^{2}}+2 v+6 & v_{4}&=-{{v}^{2}}+v+6\\ v_{5}&={{v}^{2}}-2 v-6 & v_{6}&=-v \end{align*}
\begin{align*} &g_0(v_i)=0 \quad for \ (i=1,4,5) \\ &\qquad \qquad \Downarrow\ \\ &A_3: Galois \ group \ of \ F(x) \\ &\qquad composition \ series \quad A_3 \rhd \{e\} \end{align*}
\begin{align*} &g_1(x) : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ &g_{1}(x)=x-\frac{{{a}_{1}^{2}} \omega }{3}-\frac{2 {{a}_{1}^{2}}}{3}+{a_1} \in F_{1}[x] \\ \end{align*}
\begin{align*} \\ F_1=F_0(a_1) \quad Here \ B_1&={{a}_{1}^{3}}-3\omega +3 =0, \\ \Omega&=\omega^2+\omega+1=0 \end{align*}
\begin{align*} v=&\frac{{{a}_{1}^{2}} \omega }{3}+\frac{2 {{a}_{1}^{2}}}{3}-{a_1} \\ \\ \alpha=&\frac{{a_1} \omega }{3}-\frac{{{a}_{1}^{2}}}{3}+\frac{2 {a_1}}{3}\\ \beta=&-\frac{{{a}_{1}^{2}} \omega }{3}-\frac{2 {a_1} \omega }{3}-\frac{{a_1}}{3}\\ \gamma=&\frac{{{a}_{1}^{2}} \omega }{3}+\frac{{a_1} \omega }{3}+\frac{{{a}_{1}^{2}}}{3}-\frac{{a_1}}{3}\\ \\ Here &\quad B_1={{a}_{1}^{3}}-3\omega +3 =0,\\ &\quad \Omega=\omega^2+\omega+1=0 \end{align*}
EX2-1 問題の設定
例題2は次の3次方程式 \(f(x)\)の根を求める事です。
【例題1】のRT1-1で様々な数学用語を説明をしたので、EX2ではごく簡単に説明するだけにします。
方程式 \(f(x)\) は基礎体は有理数体 \(Q\) 上の多項式ですが、今後 \(Q\) の拡大体を扱うので
改めて基礎体を \(F_0 \ (=Q)\) で表すことにします。
\begin{equation} \setCounter{0} f(x)=x^3-3x+1=0 \quad \in F_0[x]\\ \{ \ \alpha,\beta,\gamma \ \} :roots \ of \ f(x) \end{equation}
\begin{align} v=1\cdot\alpha+2\cdot\beta+3\cdot\gamma \end{align}
（注）：\(\{\ \alpha,\beta,\gamma \ \}\)にかかっている係数\([ \ 1,2,3 \ ]\)ですが、 異なった数の組み合わせなら殆どの場合構いません。
EX2-2, EX2-3の計算
以下に記述する計算方法は、EX1-RT3で説明した井汲景太氏が提案された方法です。
（途中までは【例題1】とほとんど同じです。）
\(f(x)\)を\(\{ \ (x-\alpha), \ (x-\beta),(x \ -\gamma) \ \}\) の3式を使って、以下の様に順次割ってゆきます。
\begin{align} f(x)&=x^3-3x+1 \notag \\ \notag \\ f(x)&=(x-\alpha)(x^2+\alpha x+\alpha^2-3)+(\alpha^3-3 \alpha +1) \notag \\ &=(x-\alpha)q_1(x)+r_1\\ \notag \\ q_1(x)&=(x-\beta)( x+\alpha+\beta )+(\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2-3) \notag \\ &=(x-\beta)q_2(x)+r_2\\ \notag \\ q_2(x)&=(x-\gamma) \cdot 1+(\alpha+\beta+\gamma) \notag \\ &=(x-\gamma)q_3(x)+r_3\\ \end{align}
\begin{align} f(\alpha)=0 \quad &\Rightarrow \quad r_1=\alpha^3-3 \alpha +1=0\\ q_1(\beta)=0 \quad &\Rightarrow \quad r_2=\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2-3=0\\ q_2(\gamma)=0 \quad &\Rightarrow \quad r_3=\alpha+\beta+\gamma=0\\ eq(2) \quad &\Rightarrow \quad r_4=v-(\alpha+2\beta+3\gamma)=0\\ \end{align}
例えば、2変数連立方程式 \(\{f(x,y)=0,g(x,y)=0\}\) の解を求めるとします。
その際に、終結式 \( \ Resultant( \ f(x,y), \ g(x,y), \ y \ )=h(x)=0 \ \) という計算をして、 先ず変数 \(y\) を消去した方程式 \(h(x)=0\) を考える。という方法です。 式(6)-(9)の4元連立方程式の場合、計算ソフトmaximaでは以下の連続する3つの終結式の計算で 1変数方程式(10)までたどり着けます。
\begin{align} &s_1:resultant(r_4,r_3,\gamma); \quad s_1=-\beta -2 \alpha -v=0 \notag \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_2:resultant(s_1,r_2,\beta); \quad s_2=3 {{\alpha }^{2}}+3 v \alpha +{{v}^{2}}-3=0 \notag \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_3:resultant(s_2,r_1,\alpha); \quad s_3={{v}^{6}}-18 {{v}^{4}}+81 {{v}^{2}}-81=0 \\ \end{align}
そこで改めて、式(11)の様に多項式 \(V(x)\) を定義します。当然、原始元 \(v\) は、 式(12)を満足しますが、\(V(x)\) は既約多項式で無い事は明らかです。 原始元 \(v\) を使った単拡大 \(F_0(v)\) を生成するには、\(v\) の最小多項式は既約多項式 でなければなりません。
そこで、\(V(x)\) の因数分解された2つの多項式のうちどちらでも構いませんが、 ここでは第一番目の多項式を、\(v\) の最小多項式 \(g_0(x)\) として式(13)の様に定義します。
蛇足ですが、最小多項式を \(g_0(x)\) として単拡大 \(F_0(v)\) を生成するわけですから、 当然 式(13)の \(g_0(v)=0\) も成りたっております。
\begin{align} &V(x) \equiv x^6-18x^4+81x^2-81=(x^3-9x-9)(x^3-9x+9) \\ &\therefore \quad V(v)=v^6-18v^4+18v^2-81=0 \\ \notag \\ &g_0(x) \equiv x^3-9x-9 \qquad \therefore \ g_0(v)=v^3-9v-9=0\\ \end{align}
EX2-4の計算
さて、次に上記の \(g_0(v)\) で定義された代数体 \(F_0(v)\) で \(f(x)\) を因数分解します。
この計算は【補足1】で説明しました「元吉アルゴリズム」を使った「代数体上での因数分解」という方法で
計算されます。この際、代数体 \(F_0(v)\) 内の計算は、\(g_0(v)=0\) の条件式を使用しております。
この因数分解計算はmaximaでも用意されておりManualをみると、
\(factor(p,q)\) という計算命令は、
「pを最小多項式がqである要素を加えた有理数体上で因数分解します」
と言う説明となっていますので、
実際にmaximaを使って、方程式 \(f(x)\)を\(v\) の最小多項式 \(g_0(v)\) が作る代数体 \(F_0(v)\) 上で
因数分解してみましょう。以下の式(14)が問題の因数分解命令で、式(15)が因数分解された結果です。その下の命令
\(solve(fg,x)\) は、\(fg=0\) という \(x\) の方程式を解け(solve)という命令です。
\begin{align} &fg:factor(f(x),g_0(x)); \\ \notag \\ &fg= \frac{\left( 3 x-2 {{v}^{2}}+3 v+12\right) \, \left( 3 x+{{v}^{2}}-6\right) \, \left( 3 x+{{v}^{2}}-3 v-6\right) }{27}\\ \notag \\ &solve(fg,x); \\ \notag \\ &\left[ \ x_1=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+v+2, \ x_2=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+2, \ x_3=\frac{2 {{v}^{2}}}{3}-v-4 \ \right]\\ \end{align}
驚くことに、式(17)の3根 \(\{x_1,x_2,x_3\}\) は、\(f(x)\) の3根 \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma \ \}\) に 相当します！
但し、 \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma \ \}\) と \(\{x_1,x_2,x_3\}\) は、お互い 1対1対応はついておりませんが....
次ページに続く
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但し、何の工夫もないプログラムです。
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