APX5 \(x^3-2=0, \ x^5-3=0\) に関して
この【補足5】で取り上げたテーマは、以前より井汲景太氏が指摘されている問題です。上記の方程式の場合、 従来方法だと、「添加数を計算する際にゼロ割が発生し上手くゆかない事がある。」と言う問題でした。事の細かい経緯は、以下の井汲氏のWeb Pageをご覧いただければお判りになると思います。
https://ikumi.que.jp/blog/archives/724
https://ikumi.que.jp/blog/archives/734
私が計算していて感じた事は、
「 体 \(Q\) で求めた \(v\) の最小多項式は、本当に基礎体 \(F_0=Q(\omega)\) で既約か？と言う疑問でした」
以下、この疑問に関して説明してゆきますが、途中までは従来の計算方法なので、細かい説明は省きます。
APX5-1 方程式 \(x^3-2=0\) の \(V(x)\) の計算
【例題1】EX1-RT3と同じ方法で、原始根 \(v\) が満たすべき \(V(x)\) の計算をします。\begin{align} \setCounter{0} f(x)&=x^3-2=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\ v&=\alpha+2 \cdot \beta+3 \cdot \gamma \\ \notag \\ f(x)&=(x-\alpha)(x^2+\alpha x+\alpha^2)+(\alpha^3-2) \notag \\ &=(x-\alpha)q_1(x)+r_1\\ \notag \\ q_1(x)&=(x-\beta)( x+\alpha+\beta )+(\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2) \notag \\ &=(x-\beta)q_2(x)+r_2\\ \notag \\ q_2(x)&=(x-\gamma) \cdot 1+(\alpha+\beta+\gamma) \notag \\ &=(x-\gamma)q_3(x)+r_3\\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} f(\alpha)=0 \quad &\Rightarrow \quad r_1=\alpha^3-2=0\\ q_1(\beta)=0 \quad &\Rightarrow \quad r_2=\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2=0\\ q_2(\gamma)=0 \quad &\Rightarrow \quad r_3=\alpha+\beta+\gamma=0\\ eq(2) \quad &\Rightarrow \quad r_4=v-(\alpha+2\beta+3\gamma)=0\\ \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} &s_1:resultant(r_4,r_3,\gamma); \quad s_1=-\beta -2 \alpha -v=0 \notag \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_2:resultant(s_1,r_2,\beta); \quad s_2=3 {{\alpha }^{2}}+3 v \alpha +{{v}^{2}}=0 \notag \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_3:resultant(s_2,r_1,\alpha); \quad s_3={{v}^{6}}+180=0 \\ \notag \\ &V(x) \equiv x^6+180 :irreducible \ polynomial \ on \ Q \\ \end{align}
そこで改めて、\(s_3\) を式(8)の様に多項式 \(V(x)\) として定義します。当然、原始元 \(v\) は、 \(V(x)\) の根です。
APX5-2 方程式 \(g_0(x)=x^6+180\) とした従来の計算方法
\(V(x)\) は体 \(Q\) では既約多項式なので、【例題1,2,3,4】の考え方では、 \(v\) の最小多項式となります。\begin{align} g_0(x) \equiv V(x) \ : \ minimal \ polynomial \ of \ v \\ \end{align}
【step1】 \(\{ \alpha,\beta,\gamma\}\) の \(v\) の多項式表現を求める計算
代数計算ソフトmaximaの命令を使うと、以下の様に \(f(x)\) を代数体 \(F_0(v)\) 上で簡単に因数分解できます。 従って、\(f(x)\)の根は \(f(x)=0\) を解けば良いわけで、3根 \(\{x_1,x_2,x_3\}\) は、簡単に求まります。\begin{align} &factor(f(x),g_0(v)); \ \rightarrow \ f(x)=\frac{\left( 18 x-{{v}^{4}}\right) \, \left( 36 x+{{v}^{4}}-18 v\right) \, \left( 36 x+{{v}^{4}}+18 v\right) }{23328} \\ \notag \\ &x_1=-\frac{v^4+18v}{36}, \quad x_2=-\frac{v^4-18v}{36}, \quad x_3=\frac{v^4}{18} \\ \end{align}
上記 \(\{x_1,x_2,x_3\}\) と \(\{ \alpha,\beta,\gamma\}\) は、未だ一対一対応がとれていません。
対応を取るためには、\(w \equiv x_1+2x_2+3x_3\) として、\(\{x_1,x_2,x_3\}\) を6通りの置換をさせてみて、 \(w\) の値が丁度 \(v\) となる置換を見つければよい事になります。その結果は以下の様になります。
\begin{align} \alpha=x_1=-\frac{v^4+18v}{36}, \quad \beta=x_3=\frac{v^4}{18}, \quad \gamma=x_2=-\frac{v^4-18v}{36} \\ \end{align}
【step2】 \(v\) の共役数 \(v_i\) を求める計算
次に式(2)で定義されている \(v\) の共役数をもとめます。手順は対称群 \(S_3\) を使って、 \(\{ \alpha,\beta,\gamma\}\) を 置換させてゆけば良いだけです。以下がその結果となり、勿論全ての共役数 \(v_i\) は、最小多項式の根になっております。\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &v_1=v & &v_2=\frac{{{v}^{4}}}{12}+\frac{v}{2} & &v_3=-\frac{{{v}^{4}}}{12}+\frac{v}{2} \\ &v_4=-\frac{{{v}^{4}}}{12}-\frac{v}{2} & &v_5=\frac{{{v}^{4}}}{12}-\frac{v}{2} & &v_6=-v \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ &g_0(v_1)=g_0(v_2)=g_0(v_3)=g_0(v_4)=g_0(v_5)=g_0(v_6)=0\\ \end{align}
次ページに続く
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