【例題4】の解法手順
EX4-1\begin{align*} &f(x)=x^4+4x+2 \\ &\qquad \{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}: \ roots \ of \ f(x)\\ \\ & v: \ Primitive \ element \\ & \qquad v=1\cdot\alpha+2\cdot\beta+3\cdot\gamma+4 \cdot \delta \end{align*}
\[ \qquad The \ system \ of \ equations \]
\[ \left\{ \begin{array}{l} r_1={{\alpha }^{4}}+4\alpha +2=0\\ r_2={{\beta }^{3}}+\alpha {{\beta }^{2}}+{{\alpha }^{2}} \beta +{{\alpha }^{3}}+4=0 \\ r_3={{\gamma }^{2}}+\left( \beta +\alpha \right) \gamma +{{\beta }^{2}}+\alpha \beta +{{\alpha }^{2}}=0\\ r_4= \alpha+\beta+\gamma+\delta =0\\ r_5=v-(\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta )=0 \\ \end{array} \right.\\ \quad \\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \]
\[ \qquad Elimination \ Theory \]
\[ V(v)=v^{24}-160v^{20}+5440v^18+30080v^{16}+...\\ \quad...+700091596800v^2+4691625312256\\ \]
\begin{align*} &V(x): \ irreducible \ polynomial \\ \\ &\therefore \ g_0(x) \equiv V(x) \qquad deg(g_0(x))=24\\ \\ &g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\omega) \\ \end{align*}
\[Factorization \ of \ f(x) \ on \ F_0(v)\] \[\quad "maxima's \ function \ "\] \[\qquad factor(f(x),g_0(v))\]
\begin{align*} &\alpha=\alpha(v), \ \beta=\beta(v), \ \gamma=\gamma(v), \ \delta=\delta(v)\\ \\ &roots \ of \ g_0(x) \ ( \ =V(x) \ )\\ &\quad [ \ v_1=v_1(v), \ ....\ , \ v_{24}=v_{24}(v) \ ] \\ \end{align*}
\begin{align*} &S_4: Galois \ group \ of \ f(x) \\ &composition \ series \quad S_4 \rhd \ A_4 \rhd \ V_4 \rhd \{e\} \end{align*}
\[g_1(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_1(x) \ \in \ F_0(a_1)[x]\qquad deg(g_1(x))=12 \\ \quad \\ B_1=a_1^2+17510400\]
\[g_2(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_2(x) \ \in \ F_1(a_2)[x] \qquad deg(g_2(x))=4\\ \quad \\ B_2=a_2^3-\frac{14 {a_1} \omega }{27}-2304 \omega -\frac{89 {a_1}}{135}+1088 \]
\[ g_3(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_3(x) \ \in \ F_2(a_3)[x] \qquad deg(g_3(x))=2\\ \]
\[ B_3=a_3^2-\biggl( \frac{23 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{324480}+\frac{63 {{a}_{2}^{2}} \omega }{338}-\frac{8 {a_2} \omega }{13}\\ \qquad \qquad +\frac{{a_1} {{a}_{2}^{2}}}{324480}+\frac{135 {{a}_{2}^{2}}}{338}-\frac{32 {a_2}}{13} \biggr)\\ \]
\[ g_4(x)\ : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ \qquad g_4(x) \ \in \ F_3(a_4)[x] \qquad deg(g_4(x))=1\\ \]
\[ B_4=a_4^2-\biggl(-\frac{11 {a_1} {{a}_{2}^{2}} \omega }{2595840}+\frac{9 {{a}_{2}^{2}} \omega }{676}+\frac{2 {a_2} \omega }{13} \\ \qquad \qquad -\frac{23 {a_1} {{a}_{2}^{2}}}{5191680}-\frac{63 {{a}_{2}^{2}}}{5408}+\frac{3 {a_2}}{26}\biggr)\\ \]
\begin{align*} &v=v(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \ \in \ F_4=F_0(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \\ \\ &\left\{ \begin{array}{l} \alpha=\alpha(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega), \ \ \beta=\beta(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \\ \gamma=\gamma(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega), \ \ \delta=\delta(a_1,a_2,a_3,a_4,\omega) \\ \end{array} \right.\\ \end{align*}
EX4-1 問題の設定
【例題4】は、式(1)の4次方程式 \(f(x)\) の根を求める問題です。
この例題は、【例題1,2,3】の計算手法を総動員して計算する問題です。特に各ステップで
巡回拡大をする場合に、新たな添加する数を係数として含む多項式も併せて計算する
手続きが【例題2,3】とは少し異なるので注意して下さい。
【例題4】の計算過程には、本サイトで説明したい事が全て盛り込まれています。
\begin{align} \setCounter{0} f(x)=x^4+4x+2 \ \in F_0[x] \\ \end{align}
\begin{align} v=1 \cdot \alpha+2 \cdot \beta+3 \cdot \gamma+4 \cdot \delta \end{align}
（注）： \(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta\} \) にかかっている係数 \([ \ 1,2,3,4 \ ]\) ですが、 異なった数の組み合わせなら殆どの場合構いません。
EX4-2, EX4-3の計算
以下に記述する計算方法は、井汲景太氏が提案された方法です。
（EX4-7までは【例題1,2,3】と同じです。）
\(f(x)\)の因数\( (x-\alpha) \) などの4式を使って、以下の様に順次割ってゆきます。
\begin{align} &f(x)=x^4+4x+2 =(x-\alpha)(x-\beta)(x \ -\gamma)(x \ -\delta) \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} f(x)=(x-\alpha)q_1(x)+r_1 \\ q_1(x)=x^3+{{x}^{2}}\alpha+x {{\alpha }^{2}}+ {{\alpha }^{3}} +4\\ r_1={{\alpha }^{4}}+4 \alpha +2 \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} q_1(x)=(x-\beta)q_2(x)+r_2 \\ q_2(x)={{x}^{2}}+x\, \left( \beta +\alpha \right)+{{\beta }^{2}} +\alpha \beta +{{\alpha }^{2}} \\ r_2= {{\beta }^{3}}+\alpha {{\beta }^{2}}+{{\alpha }^{2}} \beta +{{\alpha }^{3}}+4 \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} q_2(x)=(x-\gamma)q_3(x)+r_3 \\ q_3(x)=x+\gamma +\beta +\alpha \\ r_3= {{\gamma }^{2}}+\left( \beta +\alpha \right) \gamma +{{\beta }^{2}}+\alpha \beta +{{\alpha }^{2}}\\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} q_3(x)=(x-\delta)q_4(x)+r_4 \\ q_4(x)=1 \\ r_4=\delta +\gamma +\beta +\alpha \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
上式より \(\{ \ f(x), \ q_1(x), \ q_2(x), \ q_3(x) \ \}\) は それぞれ \(\{ \alpha,\beta,\gamma,\delta \}\)を 根に持つので、以下の式が成り立ちます。そして、式(2)の右辺を移項して\(r_5\) と定義します。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &f(\alpha)=0 \ \Rightarrow \ r_1=0 \quad &q_1(\beta)=0 \ \Rightarrow \ r_2=0 \\ &q_2(\gamma)=0 \ \Rightarrow \ r_3=0\quad &q_3(\delta)=0 \ \Rightarrow \ r_4=0 \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &eq.(2) \quad \Rightarrow \quad r_5=v-(\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta)=0\\ \end{align}
この様な場合、「終結式」を使う「消去法」と呼ばれる手法で、未知数を 少なくして問題の簡素化を図ります。 計算ソフトmaximaで計算した結果を下に示します。 最終的には \(v\) の次数24次の1変数多項式まで簡略化される事になります。 (resultant(x,y,z)をRes(x,y,z)で表しました)
\begin{align} &s_1:Res(r_5,r_4,\epsilon); \quad s_1=-\gamma -2 \beta -3 \alpha -v =0 \notag \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_2:Res(s_1,r_3,\delta); \quad s_2=3 {{\beta }^{2}}+\left( 8 \alpha +3 v\right) \beta +7 {{\alpha }^{2}}+5 v \alpha +{{v}^{2}} =0\notag \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_3:Res(s_2,r_2,\gamma); \quad s_3=160 {{\alpha }^{6}}+336 v {{\alpha }^{5}}+340 {{v}^{2}} {{\alpha }^{4}}+\left( 192 {{v}^{3}}+160\right) {{\alpha }^{3}} \notag \\ &\qquad \qquad\qquad \qquad \qquad +64 {{v}^{4}} {{\alpha }^{2}}+12 {{v}^{5}} \alpha +{{v}^{6}}+432=0\notag \\ &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_4:Res(s_3,r_1,\beta); \quad s_4=v^{24}-160v^{20}+5440v^{18}+30080v^{16}+739840v^{14} \notag \\ &\qquad \qquad\qquad \qquad \qquad +25400832v^{12} -29593600v^{10}+1520414720v^8 \notag \\ &\qquad \qquad\qquad \qquad \qquad +35532554240v^6+411134296064v^4 \notag \\ &\qquad \qquad\qquad \qquad \qquad +700091596800v^2+4691625312256=0 \\ \end{align}
従って原始元 \(v\) は式(10)を満足しなければならない事が判りました。式(8)(9)の5元連立方程式が 式(10)の\(v\)に関する24次の方程式に集約された形になります。 従って問題は、式(10)の \(v\) の値を求める事に専念すればよい事になります。そこで \(s_4\) の \(v\) の多項式を下式の様に関数表示 \(V(v)\) にします。 これは、【例題1,2,3】と文字をそろえるためで、以降 \(V(x)\) や \(g_0(x)\) の関数表示も同様です。
\begin{align} V(v) \equiv & \ s_4 \notag \\ \notag \\ \therefore \ V(v)=& \ v^{24}-160v^{20}+...+700091596800v^2+4691625312256=0 \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ V(x)=& \ x^{24}-160x^{20}+...+700091596800x^2+4691625312256 \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ g_0(x) \equiv & \ V(x)=x^{24}-160x^{20}+...+700091596800x^2+4691625312256 \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ \therefore \ g_0(v)=& \ v^{24}-160v^{20}+...+700091596800v^2+4691625312256=0 \\ \end{align}
【例題2,3】では、\(V(x)\) が可約多項式だったので \(V(x)\) と \(g_0(x)\) は別の多項式だったのですが、 【例題4】は、【例題1】と同様に \(V(x)\) が既約多項式なので、式(13)の様に \(V(x)\) をそのまま \(v\) の最小多項式 \(g_0(x)\) とする事が出来ます。
\begin{align} g_0(x)=& x^{24}-160x^{20}+5440x^{18}+30080x^{16}+739840x^{14} \notag \\ &+25400832x^{12} -29593600x^{10}+1520414720x^8 \notag \\ &+35532554240x^6+411134296064x^4 \notag \\ &+700091596800x^2 +4691625312256 \ \in \ F_0[x] \\ \notag \\ \qquad g_0(x): \ & minimal \ polynomial \ of \ v \qquad (\ \because g_0(v)=0 \ ) \notag \\ \end{align}
方程式 \(g_0(x)=0\) の一つの根は、式(14)より明らかに \(v\) ですが、他の23根はどのようなものかを 次節以降で考えてゆきます。
次ページに続く
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