APX3 巡回多項式と円分方程式 \(\Phi_{17}(x)\)
[4] 円分方程式 \(\Phi_{17}(x)=0\) の解法
円分多項式は巡回多項式の典型的な例です。何故なら円分方程式の一つの解を \(v\) とすれば、他の根は \(v^n\) で全てあらわされるからです。 この節ではガウスの円分方程式 \(\Phi_{17}(x)=0\) に関して、今まで説明してきた ガロア理論を使った解法を適用してみます。 これ以降は、【例題1,2,3,4】で使用してきた文字と同じ雰囲気を出すために、以下のように文字を使い分けます。・円分多項式だと強調したい場合：\(\Phi_{17}(x)\)を使用する
・最小多項式だと強調したい場合：\(g_0(x)\)を使用する。勿論 \([ \ \Phi_{17}(x)=g_0(x), \ g_0(v)=0 \ ]\) です！
・基礎体を\(F_0\)とします。 勿論 \([ \ F_0 \equiv Q \ ]\) です。
それでは、この \(g_0(v)\) で生成される代数体 \(F_0(v)\) の中で \(\Phi_{17}(x)\) を、 maximaの命令 \(factor(p,q)\) で因数分解すると下式(17)となります。
\begin{align} \setCounter{14} &x^{17}-1=(x-1) \times \Phi_{17}(x) \notag \\ \notag \\ &\Phi_{17}(x) =( {{x}^{16}}+{{x}^{15}}+{{x}^{14}}+{{x}^{13}}+{{x}^{12}}+{{x}^{11}}+{{x}^{10}}+{{x}^{9}} \notag \\ &\qquad \qquad +{{x}^{8}}+{{x}^{7}}+{{x}^{6}}+{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1) \\ \notag \\ &Minimal \ Polynomial \ of \ v : \ g_0(x)=\Phi_{17}(x) \quad \rightarrow \quad g_0(v)=0\\ \notag \\ &factor(\Phi_{17}(x),g_0(v))=(x-v)(x-v^2)(x-v^3)(x-v^4)(x-v^5) \notag \\ &\qquad \qquad \times(x-v^6)(x-v^7)(x-v^8)(x-v^9)(x-v^{10})(x-v^{11}) \notag \\ &\qquad \qquad \times (x-v^{12})(x-v^{13})(x-v^{14})(x-v^{15}) \notag \\ &\qquad \qquad \times (x+v^{15}+v^{14}+v^{13}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^9 \\ &\qquad \qquad +v^8+v^7+v^6+v^5+v^4+v^3+v^2+v+1) \notag \\ \end{align}
式(17)より、\([ \ factor(\Phi_{17}(x),g_0(v))=0 \ ]\) の16個の解は、式(18)の様に表現できます。
即ち、下式(18)の \([ \ \mu_i(v)=v_i=v^i \ ]\) は、自己同型写像 \(\mu_i\) が \(v\) を写像すると、 \(v_i\) となり、\(v_i\) の \(v\) による多項式表現は \(v^i\) となる事を示しています。
\begin{align} \mu_{1}(v)&=v_{1}=v & \mu_{2}(v)&=v_{2}=v^{2} & \mu_{3}(v)&=v_{3}=v^{3} \notag \\ \mu_{4}(v)&=v_{4}=v^{4} & \mu_{5}(v)&=v_{5}=v^{5} & \mu_{6}(v)&=v_{6}=v^{6} \notag \\ \mu_{7}(v)&=v_{7}=v^{7} & \mu_{8}(v)&=v_{8}=v^{8} & \mu_{9}(v)&=v_{9}=v^{9} \\ \mu_{10}(v)&=v_{10}=v^{10} & \mu_{11}(v)&=v_{11}=v^{11} & \mu_{12}(v)&=v_{12}=v^{12} \notag \\ \mu_{13}(v)&=v_{13}=v^{13} & \mu_{14}(v)&=v_{14}=v^{14} & \mu_{15}(v)&=v_{15}=v^{15} \notag \\ \end{align} \begin{align} \ \mu_{16}(v)&=v_{16}=- (v^{15}+v^{14}+v^{13}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^9+v^8 \notag \\ &\qquad +v^7+v^6+v^5+v^4+v^3+v^2+v+1) \qquad ( \ mod \ g_0(v) \ ) \notag \\ \end{align}
\begin{align} \quad v^{17}&=v \cdot v^{16}=v \cdot (- (v^{15}+v^{14}+...+v^3+v^2+v+1))\notag \\ &=-(v^{16}+v^{15}+v^{14}+v^{13}+....+v^4+v^3+v^2+v) \notag \\ &=(v^{15}+v^{14}+...+v^2+v+1-v^{15}-v^{14}-....-v^3-v^2-v)=1 \notag \\ \notag \\ \therefore \ v^{17}&=1 \quad \Rightarrow \quad v^i \cdot v^j=v^{i \cdot j} \quad \ （注）\ (i \cdot j) \ は \ (mod \ 17) \ で計算\\ \end{align}
\begin{align} &\mu_3 (v)=v_3=v^3 \notag \\ &\mu_3^2(v)=\mu_3(\mu_3(v))=\mu_3(v_3)=\mu_3(v^3)=(\mu_3(v))^3=(v^3)^3=v^9=v_9=\mu_9(v) \notag \\ &\mu_3^3(v)=\mu_3(\mu_3^2(v))=\mu_3(v_9)=\mu_3(v^9)=(\mu_3(v))^9=(v^3)^9=v^{27}=v^{10}=v_{10}=\mu_{10}(v) \notag \\ &\mu_3^4(v)=\mu_3(\mu_3^3(v))=\mu_3(v^{10})=v^{30}=v^{13}=v_{13}=\mu_{13}(v)\notag \\ \end{align}
\begin{align} \mu_3^{5}(v)&=\mu_{5}(v) & \mu_3^{6}(v)&=\mu_{15}(v) & \mu_3^{7}(v)&=\mu_{11}(v) & \mu_3^{8}(v)&=\mu_{16}(v) \notag \\ \mu_3^{9}(v)&=\mu_{14}(v) & \mu_3^{10}(v)&=\mu_{8}(v) & \mu_3^{11}(v)&=\mu_{7}(v) & \mu_3^{12}(v)&=\mu_{4}(v) \notag \\ \mu_3^{13}(v)&=\mu_{12}(v) & \mu_3^{14}(v)&=\mu_{2}(v) & \mu_3^{15}(v)&=\mu_{6}(v) & \mu_3^{16}(v)&=\mu_{1}(v) \notag \\ \mu_3^{17}(v)&=\mu_{3}(v) & \mu_3^{18}(v)&=\mu_{9}(v) &...... & & & \notag \\ \end{align}
即ち \(\Phi_{17}(x)\) のガロア群は、位数16の巡回群 \(C_{16}\) である事が判りました。
\(\Phi_{17}(x)\)のガロア群が巡回群\(C_{16}\)と判ったので、この\(C_{16}\)の正規部分群(Normal subgroup)、その 組成列(Composition series)、組成列を分解した各巡回拡大体の組成列を求めると以下の様になります。
\begin{align} &Gal(F_0(v)/F_0)=C_{16} \notag \\ &\quad C_{16}=\{\mu_{1}, \ \mu_{2}, \ \mu_{3}, \ \mu_{4}, \ \mu_{5}, \ \mu_{6}, \ \mu_{7}, \ \mu_{8},\notag \\ &\qquad \qquad \mu_{9}, \ \mu_{10}, \ \mu_{11}, \ \mu_{12}, \ \mu_{13}, \ \mu_{14}, \ \mu_{15}, \ \mu_{16}\} \\ \notag \\ &Normal \ subgroup \ of \ C_{16} \notag \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} C_8=\{\mu_{1}, \ \mu_{2}, \ \mu_{4}, \ \mu_{8}, \ \mu_{9}, \ \mu_{13}, \ \mu_{15}, \ \mu_{16}\} \\ C_4=\{\mu_{1}, \ \mu_{4}, \ \mu_{13}, \ \mu_{16}\} \\ C_2=\{\mu_{1}, \ \mu_{16}\}\\ {e}=\{e\} \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &Composition \ series \ of \ Galois \ group \ C_{16} \notag \\ \notag \\ &\qquad [ \ C_{16} \rhd C_8 \rhd C_4 \rhd C_2 \rhd {e} \ ]\\ \notag \\ & \qquad \Downarrow \notag \\ &Cyclic \ extensions \notag \\ \notag \\ & [ \ C_{16}/C_8 \rhd e \ ] \rightarrow [ \ C_8/C_4 \rhd e \ ] \rightarrow [ \ C_4/C_2 \rhd e \ ] \rightarrow [ \ C_2 \rhd e \ ]\\ \end{align}
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