数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
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【8-3】最小多項式 \(g_0(x)\) の決定
前節で計算したようにガロア分解式 \(V(x)\) は120次の多項式となりましたが、最終的には6個の多項式 \(\{V_1,V_2,...,V_6 \}\) に因数分解されました。\begin{align} V(x) &= x^{120}+360x^{119}+64740x^{118}+....=\displaystyle \prod_{i=1}^{6}V_{i}(x) \\ \end{align}
\begin{align} g_0(x) \equiv V_1(x) \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ V_{1}(x)&={{x}^{20}}+60 {{x}^{19}}+1790 {{x}^{18}}+35100 {{x}^{17}}+505261 {{x}^{16}}+5652840 {{x}^{15}}+50799180 {{x}^{14}}+373971600 {{x}^{13}} \notag \\ &+2281089966 {{x}^{12}}+11590327440 {{x}^{11}}+49084357780 {{x}^{10}}+172620188400 {{x}^{9}}+500267581306 {{x}^{8}} \notag \\ &+1181164237800 {{x}^{7}}+2242276888380{{x}^{6}}+3401909638560 {{x}^{5}}+4254933143241 {{x}^{4}} \notag \\ &+4933817387460 {{x}^{3}}+6084439227750 {{x}^{2}}+7164705190500 x+5919446204113 \notag \\ \end{align}
次に方程式 \(f(x)\)を\(v\) の最小多項式 \([g_0(v)=0]\) が作る代数体 \(F_0(v)\) 上で因数分解します。
maximaには、指定された代数体で多項式を因数分解する命令 \(factor(p,q)\) （qが生成する代数体でpを因数分解せよという命令）があるのでそれを使います。 (3.3)が因数分解命令で、(3.4)が因数分解された結果です。因数分解された結果は非常に複雑な式になるので、(3.5)にかなり省略した式を示してみた。 \(\{x_1(v),x_2(v),x_3(v),x_4(v),x_5(v)\}\) は全て \(v\) の次数19の多項式です。
\begin{align} f_{g_0} &:factor(f(x),g_0(v)); \\ \notag \\ \Rightarrow \quad f_{g_0}&=(x-x_1(v))(x-x_2(v))(x-x_3(v))(x-x_4(v))(x-x_5(v)) \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ x_1&=x_1(v) \notag \\ &=\frac{1}{1805610907325788018215199866227491256974007107113418338878394352169956056029101346198715864} \notag \\ &\times \bigl(20399914128957102114355730051252429667468197886785684817206258694119405575139320v^{19}+.... \bigr. \notag \\ &+\bigl. 16081798561393987072650538574298238544699323139325350416481161239277565867115418404308931185 \bigr) \\ \end{align}
\(\{x_1(v),x_2(v),x_3(v),x_4(v),x_5(v)\}\) は、 \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma, \ \delta, \ \epsilon \}\) の何れかでありますが、 お互い1対1対応はついておりません。そこで、以下にその対応関係を見つける計算をします。
\([ \ w = x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4x_{4}+5x_{5} \ ] \) として、対称群 \(S_5\) の元 \(\tau_i\) で \(\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\}\) の並びを置換させます。 置換生成した \(\{w_1,w_2,...,w_{120}\}\) が(3.7)となります。ここでは、 \(\{x_i\}\) の置換なので敢えて \(\{\sigma_i\}\) でなく \(\{\tau_i\}\) という文字を使いました。
\begin{align} &w = x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4x_{4}+5x_{5} \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \tau_1 (w)=w_1=x_1+2x_2+3x_3+4x_{4}+5x_{5} & &\tau_2 (w)=w_2=x_1+2x_2+3x_3+4x_{5}+5x_{4} \\ \tau_3 (w)=w_3=x_1+2x_2+3x_4+4x_{3}+5x_{5} & &\tau_4 (w)=w_4=x_1+2x_2+3x_4+4x_{5}+5x_{3} \\ \qquad ....... & & \\ \tau_{119} (w)=w_{119}=x_5+2x_4+3x_3+4x_{1}+5x_{2} & &\tau_{120} (w)=w_{120}=x_5+2x_4+3x_3+4x_{2}+5x_{1} \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
この \(\{w_i\}\) の \(\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\}\) に(3.5)を代入して、その値が丁度 \(v\) になる置換 \(\tau_{i}\) 探します。 その結果、(3.8)の様に \(\tau_{46}\) が求める置換となります。対応関係は、(3.9)の様になります。
係数が非常に複雑ですが、実際の方程式の5根 \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma, \ \delta, \ \epsilon \}\) が、 どのような多項式になっているかを省略した形で記載しておきました。\(f(x)\) の5根は \(v\) の次数19の多項式として表現できたことになります。
以上より、最小多項式 \([ \ g_0(v)=0 \ ]\) が生成する単拡大体 \(F_0(v)\) は\(f(x)\) の最小分解体である事が判りました。
\begin{align} &\tau_{46} (w)=w_{46}=x_2+2x_5+3x_3+4x_{4}+5x_{1} =v \\ \notag \\ &\therefore \ \ \alpha=x_2(v), \quad \beta=x_5(v), \quad \gamma=x_3(v), \quad \delta=x_4(v), \quad \epsilon=x_1(v) \end{align}
\begin{align} \alpha&=\frac{1}{28741663893023098374894074591802026018471908286940284736663131550284264654482411768768824} \notag \\ &\times \bigl( 210567501608336257455406877608503070848764997115834429441727871265227830902505v^{19}+........ \bigr. \notag \\ &+\bigl. 57442210272809374169345337580868722435898720939368040111653691808072392787022194552213299 \bigr)\notag \\ \notag \\ \beta&=\frac{-1}{857252457835009000213110196109220524468524761248558374280911860562745030594448} \notag \\ &\times \bigl( 3489672752300150933392195695645112172288494139509663115078892274970v^{19}+........ \bigr. \notag \\ &+\bigl. 3160686259198568119139434052803948615255814775832360709381422206175471892235787 \bigr)\notag \\ \notag \\ \gamma&=\frac{-1}{13214374102432605525586821997382112143731339298639171446156053662313051022867808487112} \notag \\ &\times \bigl( 33551790541675810392282267393932986968662189984953840556354972077255294275v^{19}+........ \bigr. \notag \\ &+\bigl. 83050394964553626522006732647984223980120065803477113655047195713571787342880161878127 \bigr)\notag \\ \notag \\ \delta&=\frac{-1}{6634428894032683488687127171128885141617384968585523393306641160158162726923810672} \notag \\ &\times \bigl( 79709193917302725524707317987542422011469313081618774778762485686856770v^{19}+........ \bigr. \notag \\ &+\bigl. 96219092449220493069543091774396449857033300915454544410229243200192229204492103293 \bigr)\notag \\ \notag \\ \epsilon&=\frac{1}{1805610907325788018215199866227491256974007107113418338878394352169956056029101346198715864} \notag \\ &\times \bigl( 20399914128957102114355730051252429667468197886785684817206258694119405575139320v^{19}+........ \bigr. \notag \\ &+\bigl. 16081798561393987072650538574298238544699323139325350416481161239277565867115418404308931185 \bigr)\notag \\ \end{align}
方程式の5根 \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma, \ \delta, \ \epsilon \}\) の \(v\) による多項式表現を求める事ができたので、 これを使って、最小多項式 \(g_0(x)\) の根を求めてゆきます。まず(3.10)の \(v\) に、 \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma, \ \delta, \ \epsilon \}\) の 置換を引き起こす5次の対称群 \(S_5\) の元 \(\sigma_i\) を作用させて \([ \ \sigma_i(v)=v_i \ ]\) を生成します。
\begin{align} &v = \alpha+2 \beta+3 \gamma+4\delta+5\epsilon \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1 (v)=v_1=\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta+5\epsilon & &\sigma_2 (v)=v_2=\alpha+2\beta+3\gamma+4\epsilon+5\delta \\ \sigma_3 (v)=v_3=\alpha+2\beta+3\delta+4\gamma+5\epsilon & &\sigma_4 (v)=v_4=\alpha+2\beta+3\delta+4\epsilon+5\gamma \\ \qquad ....... & & \\ \sigma_{119} (v)=v_{119}=\epsilon+2\delta+3\gamma+4\alpha+5\beta & &\sigma_{120} (v)=v_{120}=\epsilon+2\delta+3\gamma+4\beta+5\alpha \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} \sigma_i(v)&=v_i \quad i=[1,2,3,4,5,.........117,118,119,120] \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ g_0(v_i)&=0 \quad i=[1,8,18,23,30,33,40,43,52,59,61,70,73,80,90,95,99,108,110,117] \\ \end{align}
\begin{align} &Galois \ Group \quad Gal(F_0(v)/F_0) \equiv F_{20}:Frobenius Group \notag \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} &F_{20}=\{\rho_i\} \quad i=[1,8,18,23,30,33,40,43,52,59, \notag \\ &\qquad \qquad \qquad \qquad 61,70,73,80,90,95,99,108,110,117] \\ \notag \\ &\rho_i(v) \equiv \sigma_i(v)=v_i \\ \end{align}