ガロア理論による可解方程式の解法技術

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【8-8】巡回拡大 \(F_2/F_1\) ：最小多項式 \(g_2(x)\) の計算（つづき）

いよいよ最後の段階の計算です。

【step3】ILRT(Inverse Lagrange Resolvent transformation)
\begin{align} &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_0(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \\ g_1(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_1[x] \end{array} \right. \\ \end{align}

(7.6)の \(t_0\) と(7.13)の \(\tilde{t_1}\) を(8.1)のInverse Lagrange Resolvent transformationに代入すると、\(\{\tilde{h_0},\tilde{h_1}\}\) を求める事が出来ます。\(\{\tilde{h_0},\tilde{h_1}\}\)とチルダがついているのも、\(\{h_0,h_1\}\) と区別するためです。
又、\(\tilde{h_0}\) は \((x-v)\) の因数を含んでいます。従って、\(\tilde{h_0}\) を、 \(F_2\) 上の \(v\) の最小多項式 \(g_2(x)\) と考えてもよいでしょう。計算結果をまとめると以下の様になります。

\begin{align} &B_2(x)= \ x^2-A_2=0 \qquad A_2=\frac{135 {a_1}-11700}{2} \ \in \ F_1 \notag \\ &a_2=\sqrt{A_2} \quad \Rightarrow \quad F_2 \equiv F_1(a_2) \notag \\ \notag \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ &minimal \ polynomial: \ \tilde{h_0}=t_0+\tilde{t_1} \equiv g_2(x) \qquad deg(g_2(x))=5 \notag \\ \end{align}

\begin{align} \notag \\ g_2(x)&=x^5+15x^4+110x^3+\biggl(\frac{a_1}{2}+450 \biggr)x^2+\biggl(3a_1+1009 \biggr)x+\frac{29a_1}{2}-195\notag \\ &+ a_2 \biggl( {{x}^{2}}+\frac{{a_1} x}{20}+11 x+\frac{43 {a_1}}{200}+\frac{251}{10} \biggr) \quad \in F_2[x]\\ \end{align}

【補足2】Frobenius群の構成要素

Frobenius群の構成要素は、5次の巡回群 \(\varLambda\) と、5つの4次の巡回群 \(\{T_1,T_2,T_3,T_4,T_5\}\) の組み合わせから成り立っています。下記の数字は、 \([43] \equiv \rho_{43}\) を意味しており、もともとGalois群の同型写像です。お忘れなく。

\begin{align} &\varLambda=[\bbox[#FFAAAA]{43,117,90,52,1}]=[\rho_{43},\rho_{117},\rho_{90},\rho_{51},\rho_{1}] \notag \\ &T_1=[\bbox[#FFE680]{18,8,23},1]=[\rho_{18},\rho_{8},\rho_{23},\rho_{1}] \notag \\ &T_2=[\bbox[#A3FFA3]{70,30,110},1] \quad T_3=[\bbox[#A3FFFF]{33,61,73},1] \quad T_4=\bbox[#A3A3FF]{40,95,99},1] \quad T_5=[\bbox[#FFA3FF]{59,108,80},1] \notag \\ \end{align}

特に巡回群 \(\{\varLambda,T_1\}\) の要素 \(\{\rho_{43},\rho_{18} \}\) をそれぞれ \(\{\lambda ,\tau\}\) という記号で表記すると \(\{\varLambda,T_1\}\) は巡回群の形をしていることがよくわかります。

\begin{align} \rho_{43}&\equiv \lambda & &\Rightarrow & \varLambda&=[43,117,90,52,1]=[\lambda,\lambda^2,\lambda^3,\lambda^4,\lambda^5] \notag \\ \rho_{18} &\equiv \tau & &\Rightarrow & T_1&=[18,8,23,1]=[\tau,\tau^2,\tau^3,\tau^4] \notag \\ \end{align}

先ず、 \(\{\varLambda \times T_1\}\) の積表【表8-5】を作成してみます。
【表8-3】の第1行に\([1,18,8,23]\) という系列があります。その系列が【Fig8-a】の中心の四角形に配置されています。さらに積表の第１列に\([1,43,117,90,51]\) という5次の巡回群 \(\varLambda\) の系列があります。その系列が、中心の四角形の[1] の上の 5角形上に乗ってい事が判ります。同様に積表の第2列目から4列目の5要素を1単位とする3つの系列が、残りの3つの5角形上に配置されているも事が判ります。

【表8-3】 \(\varLambda \times T_1 \) の積表
\(\) \(T_1\) \(1\) \(18\) \(8\) \(23\)

\(\varLambda\) \(\) \(\tau^4\) \(\tau\) \(\tau^2\) \(\tau^3\)

\(1\) \(\lambda^5\) \(1\) \(18\) \(8\) \(23\)

\(43\) \(\lambda\) \(43\) \(33\) \(30\) \(40\)

\(117\) \(\lambda^2\) \(117\) \(99\) \(108\) \(110\)

\(90\) \(\lambda^3\) \(90\) \(80\) \(95\) \(73\)

\(52\) \(\lambda^4\) \(52\) \(70\) \(61\) \(59\)

【表8-3】 \(\varLambda \times T_1 \) の積表
\(\)	\(T_1\)	\(1\)	\(18\)	\(8\)	\(23\)
\(\varLambda\)	\(\)	\(\tau^4\)	\(\tau\)	\(\tau^2\)	\(\tau^3\)
\(1\)	\(\lambda^5\)	\(1\)	\(18\)	\(8\)	\(23\)
\(43\)	\(\lambda\)	\(43\)	\(33\)	\(30\)	\(40\)
\(117\)	\(\lambda^2\)	\(117\)	\(99\)	\(108\)	\(110\)
\(90\)	\(\lambda^3\)	\(90\)	\(80\)	\(95\)	\(73\)
\(52\)	\(\lambda^4\)	\(52\)	\(70\)	\(61\)	\(59\)

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次に \(\{T_1 \times \varLambda\}\) の積表【表8-4】を作成してみます。
積表の第1行に\([1,43,117,90,52]\) という系列があります。その系列が【Fig8-b】の \(F_{20}\) の図形の中心の円状に配置されています。さらに積表の第１列に\([1,18,8,23]\) という系列がありますが、中心の円の[1] の上に４つの系列が乗っている小さな円が接続されています。同様に積表の第２列目から５列目の４つ筒の系列に対応する小さな円も順に中心の円に接続されています。このように左上の図形は【表8-4】に登場するFrobenius群\(F_{20}\) の要素すべてが配置されている事が判ります。【Fig8-b】の他の3つの図形はFrobenius群\(F_{20}\) の組成列に従って群の要素が少なくなっている様子が視覚的にわかるようになっております。

【表8-4】 \(T_1 \times \varLambda \) の積表
\(\) \(\varLambda\) \(1\) \(43\) \(117\) \(90\) \(52\)

\(T_1\) \(\) \(\lambda^5\) \(\lambda\) \(\lambda^2\) \(\lambda^3\) \(\lambda^4\)

\(1\) \(\tau^4\) \(1\) \(43\) \(117\) \(90\) \(52\)

\(18\) \(\tau\) \(18\) \(80\) \(33\) \(70\) \(99\)

\(8\) \(\tau^2\) \(8\) \(61\) \(95\) \(108\) \(30\)

\(23\) \(\tau^3\) \(23\) \(110\) \(59\) \(40\) \(73\)

【表8-4】 \(T_1 \times \varLambda \) の積表
\(\)	\(\varLambda\)	\(1\)	\(43\)	\(117\)	\(90\)	\(52\)
\(T_1\)	\(\)	\(\lambda^5\)	\(\lambda\)	\(\lambda^2\)	\(\lambda^3\)	\(\lambda^4\)
\(1\)	\(\tau^4\)	\(1\)	\(43\)	\(117\)	\(90\)	\(52\)
\(18\)	\(\tau\)	\(18\)	\(80\)	\(33\)	\(70\)	\(99\)
\(8\)	\(\tau^2\)	\(8\)	\(61\)	\(95\)	\(108\)	\(30\)
\(23\)	\(\tau^3\)	\(23\)	\(110\)	\(59\)	\(40\)	\(73\)

【Fig8-a】【Fig8-b】が描けたからと言って特に嬉しい事はありません。しかし、Frobenius群 \(F_{20}\) を理解するうえでの一助になればと思い記述してみました。

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