数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【8-10】巡回拡大 \(F_3/F_2\) ：最小多項式 \(g_3(x)\) の計算 （続き）
これから(9.8)の右側の式が、どの様な値になるか計算してゆきます。 まずは新たな添加数とそれを定義する二項方程式を求めてみます。
【step2】二項方程式 \(B_3(x)=0\) と新たな添加数 \(a_3\) の生成
\begin{align}
t_1=cd_m \ \in F_2(v)
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
\tilde{t_1}=a_3\ \in F_3[x] \\
\\
B_3(x)=x^5-A_3=0 \\
a_3=\sqrt[5] {A_3} \ \in F_2(a_3) \equiv F_3\\
\end{array}
\right. \notag \\
\end{align}
先ず \(t_1^5\) を計算してみます。(9.7)からも判る様に \(t_1\) は \(F_2(v)\) の定数になっております。従って \(t_1\) の最高次数は0次なので、 従来の説明の記号としては \(t_1=cd_m\) という文字を使っているので、この節もそれに従います 計算の結果は(10.1)となり \(cd_m^5\) は \(F_2\) の数である事が判ります。
(10.1)の両端を見ると、 \(cd_m\) が (10.2)で示す \( \ B_3(x)=0 \ \) という二項方程式の根であるとも言えます。 そこで、\(cd_m\) を \(B_3(x)=0\) の冪根として、新たに \(a_3\) という文字で定義し直します。そして、 \(a_3\) を基礎体 \(F_2\) に添加することにより、 新たな拡大体 \(F_3\) を生成する事にします。
併せて今後必要となる \(A_3\) の逆数 \(A_3^{-1}\) も計算します。 以上の計算の途中経過は複雑なので省略しますが、 \(g_2(v)\) と \(Z\) で剰余計算をする事が重要です。
\begin{align} cd_m^5&=t_1^5=-\frac{7 {a_1} {a_2} {{\zeta }^{3}}}{2500}+\frac{77 {a_2} {{\zeta }^{3}}}{750}+ ..... +\frac{61 {a_1}}{100}-\frac{41356}{625} \equiv A_3 \ \in \ F_2 \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} B_3(x) \equiv x^5-A_3=0 \\ a_3 \equiv \sqrt[5] {A_3} \ \in F_3 \equiv F_2(a_3) \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ A_3^{-1}&=\frac{37633875 {a_1} {a_2} {{\zeta }^{3}}}{2638659584}+\frac{2274606875 {a_2} {{\zeta }^{3}}}{1978994688}+ ..... +\frac{56094429125}{329832448} \\ \end{align}
ただし \( (\mathrm{mod}\,g_2(v)) \ \rightarrow \ (\mathrm{mod}\,B_2) \ \rightarrow \ (\mathrm{mod}\,B_1) \ \rightarrow \ (\mathrm{mod}\,Z) \)の剰余は忘れないように注意してください。
\begin{align} t_2&=t_1^5 \cdot t_2 \cdot t_1^{-5}=t_1^2 \cdot (t_1^3 \cdot t_2)\cdot A_3^{-1}=a_3^2 \cdot (t_1^3 \cdot t_2) \cdot A_3^{-1} \notag \\ t_3&=a_3^3 \cdot (t_1^2 \cdot t_3)\cdot A_3^{-1} \\ t_4&=a_3^4 \cdot (t_1 \cdot t_4) \cdot A_3^{-1} \notag \\ \notag \\ &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ t_1^3 \cdot t_2&=\frac{41 {a_1} {a_2} {{\zeta }^{3}}}{25000}+\frac{791 {a_2} {{\zeta }^{3}}}{3750}+.....-\frac{253 {a_2}}{1875}-\frac{14 {a_1}}{125}-\frac{224}{125} \notag \\ t_1^2 \cdot t_3&=-\frac{3 {a_1} {a_2} {{\zeta }^{3}}}{10000}-\frac{103 {a_2} {{\zeta }^{3}}}{1500}+.....+\frac{4 {a_2}}{375}+\frac{11 {a_1}}{200}-\frac{259}{250} \\ t_1 \cdot t_4&=\frac{36 {{\zeta }^{3}}}{25}+\frac{36 {{\zeta }^{2}}}{25}-\frac{32}{25} \notag \\ \notag \\ &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} t_0&=x+3 \notag \\ \tilde{t_1}&=a_3 \in \ F_3=F_2(a_3) \\ \notag \\ \tilde{t_2}&=\frac{623 {a_1} {a_2} {{a}_{3}^{2}} {{\zeta }^{3}}}{154880}+\frac{5873 {a_2} {{a}_{3}^{2}} {{\zeta }^{3}}}{23232}+....+\frac{1655 {a_1} {{a}_{3}^{2}}}{15488}+\frac{28231 {{a}_{3}^{2}}}{3872} \notag \\ \tilde{t_3}&=\frac{17 {a_1} {a_2} {{a}_{3}^{3}} {{\zeta }^{3}}}{61952}+\frac{1985 {a_2} {{a}_{3}^{3}} {{\zeta }^{3}}}{511104}+....-\frac{27875 {a_1} {{a}_{3}^{3}}}{85184}+\frac{6145 {{a}_{3}^{3}}}{1331} \notag \\ \tilde{t_4}&=-\frac{343575 {a_1} {a_2} {{a}_{3}^{4}} {{\zeta }^{3}}}{59969536}+...-\frac{18398125 {a_1} {{a}_{3}^{4}}}{29984768}-\frac{506204825 {{a}_{3}^{4}}}{7496192} \notag \\ \end{align}
全ての項目は、 \(F_3[x]\)の元で記述されたので、(10.7)のILRT(Inverse Lagrange Resolvent transformation)を使って、 最小多項式 \(g_3(x)\) を求める事が出来ます。
【step3】ILRT(Inverse Lagrange Resolvent transformation)
\begin{align}
\begin{bmatrix}
\tilde{h_0}\\
\tilde{h_1} \\
\tilde{h_2} \\
\tilde{h_3} \\
\tilde{h_4}
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
1&1&1&1&1 \\
1&(\zeta^4)&(\zeta^4)^2&(\zeta^4)^3&(\zeta^4)^4\\
1&(\zeta^3)&(\zeta^3)^2&(\zeta^3)^3&(\zeta^3)^4\\
1&(\zeta^2)&(\zeta^2)^2&(\zeta^2)^3&(\zeta^2)^4\\
1&\zeta&\zeta^2&\zeta^3&\zeta^4
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
t_0\\
\tilde{t_1} \\
\tilde{t_2}\\
\tilde{t_3} \\
\tilde{t_4}
\end{bmatrix} \\
\notag \\
\therefore \ g_3(x) &\equiv \tilde{h_0}=t_0+\tilde{t_1}+\tilde{t_2}+\tilde{t_3}+\tilde{t_4} \\
\notag \\
&=x+3+a_3+\frac{623 {a_1} {a_2} {{a}_{3}^{2}} {{\zeta }^{3}}}{154880}+....-\frac{506204825 {{a}_{3}^{4}}}{7496192} \notag \\
\end{align}
最終的に求めたかった \(v\) の値は、最小多項式 \(g_3(x)=0\) の根となります。(10.9)の \(v\)の値を(3.9)に入力すれば、\(f(x)\) の5根が計算できます。
\begin{align} g_3(x)=0 \quad \rightarrow \quad \therefore \ v=-3-a_3-\frac{623 {a_1} {a_2} {{a}_{3}^{2}} {{\zeta }^{3}}}{154880}+....+\frac{506204825 {{a}_{3}^{4}}}{7496192} \\ \end{align}
\begin{align} \alpha&=-\frac{126285 {a_1} {a_2} {{a}_{3}^{4}} {{\zeta }^{3}}}{29984768}-\frac{3832525 {a_2} {{a}_{3}^{4}} {{\zeta }^{3}}}{11244288}+...-\frac{2405 {{a}_{3}^{2}}}{3872}-\frac{24 {a_3}}{55}-\frac{1}{5} \notag \\ \notag \\ \beta&=-\frac{2916385 {a_1} {a_2} {{a}_{3}^{4}} {{\zeta }^{3}}}{179908608}-\frac{19619075 {a_2} {{a}_{3}^{4}} {{\zeta }^{3}}}{14992384}+... +\frac{5217 {{a}_{3}^{2}}}{3872}+\frac{16 {a_3}}{55}-\frac{1}{5} \notag \\ \notag \\ \gamma&=\frac{1224145 {a_1} {a_2} {{a}_{3}^{4}} {{\zeta }^{3}}}{89954304}+\frac{12345475 {a_2} {{a}_{3}^{4}} {{\zeta }^{3}}}{11244288}+...-\frac{2257 {{a}_{3}^{2}}}{3872}-\frac{19 {a_3}}{55}-\frac{1}{5} \notag \\ \notag \\ \delta&=-\frac{171735 {a_1} {a_2} {{a}_{3}^{4}} {{\zeta }^{3}}}{29984768}-\frac{10552175 {a_2} {{a}_{3}^{4}} {{\zeta }^{3}}}{22488576}+... -\frac{6771 {{a}_{3}^{2}}}{3872}+\frac{26 {a_3}}{55}-\frac{1}{5} \notag \\ \notag \\ \epsilon&=\frac{2256215 {a_1} {a_2} {{a}_{3}^{4}} {{\zeta }^{3}}}{179908608}+\frac{45909775 {a_2} {{a}_{3}^{4}} {{\zeta }^{3}}}{44977152}+... +\frac{777 {{a}_{3}^{2}}}{484}+\frac{{a_3}}{55}-\frac{1}{5} \notag \\ \end{align}