数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【8-6】巡回拡大 \(F_1/F_0\) :最小多項式 \(g_1(x)\) の計算（続き）
いよいよ最後の段階の計算です。
【step3】ILRT(Inverse Lagrange Resolvent transformation)
\begin{align}
&\begin{bmatrix}
\tilde{h_0} \\
\tilde{h_1 }
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&1 \\
1&-1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
t_0 \\
\tilde{t_1}
\end{bmatrix}
\quad \Rightarrow \quad
\left\{
\begin{array}{l}
g_0(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \\
g_1(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_1[x]
\end{array}
\right. \\
\end{align}
(5.5)の \(t_0\) と(5.13)の \(\tilde{t_1}\) を(6.1)のInverse Lagrange Resolvent transformationに代入すると、\(\{\tilde{h_0},\tilde{h_1}\}\) を 求める事が出来ます。\(\{\tilde{h_0},\tilde{h_1}\}\)とチルダがついているのも、\(\{h_0,h_1\}\) と区別するためです。
又、\(\tilde{h_0}\) は \((x-v)\) の因数を含んでいます。 従って、\(\tilde{h_0}\) を、 \(F_1\) 上の \(v\) の最小多項式 \(g_1(x)\) と考えてもよいでしょう。 計算結果をまとめると以下の様になります。
\begin{align} &B_1(x)= \ x^2-A_1=0 \qquad A_1=5200 \ \in \ F_0 \notag \\ &a_1=\sqrt{A_1} \quad \Rightarrow \quad F_1 \equiv F_0(a_1) \notag \\ \notag \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ &minimal \ polynomial: \ \tilde{h_0}=t_0+\tilde{t_1} \equiv g_1(x) \qquad deg(g_1(x))=10 \notag \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ g_1(x)&=x^{10}+30x^9+445x^8++4200x^7+27618x^6+128880x^5 \notag \\ & +425780x^4+974400x^3+1505321x^2+1402050x+2434705 \notag \\ &+a_1 \biggl( x^7+21x^6+229x^5+\frac{2955}{2}x^4+5999x^3+15426x^2+25625x-\frac{6333}{5} \biggr) \in \ F_1[x]\\ \end{align}
【補足1】Frobenius群の組成列の見つけ方
組成列を見つける計算方法には2種類あります。(M1) \( F_{20}\) の交換子群を計算する。これが一番簡単です。ただし注意しなければならないことは、 \( F_{20}\) の交換子群系列を計算すると \([ \ F_{20} \ \triangleright \ C_{5} \ \triangleright \ e \ ]\) となり、2面体群 \(D_5\) が抜けてしまいますので注意してください。
(M2) \( F_{20}\) の共役類を計算する。この方式は群の表現論でよく使われます。少しまだらっこしい方法ですが、 計算方法(M1)の様に \(D_5\) の抜けはなく、組成列すべての構成要素がどのようになっているか見つける事が出来ます。
今回は、方式 (M2)の共役類を使った計算方式 (M2)で組成列を見つけてみます。
先ず、位数20のFrobenius群(3.14)を再掲します。同型写像の \(\rho_i\) を簡単のために \([i]\) と 単なる数字で表現します。
\begin{align} F_{20}&=\{ \ \rho_{1},\rho_{8},\rho_{18},\rho_{23},\rho_{30},\rho_{33},\rho_{40},\rho_{43},\rho_{52},\rho_{59}, \notag \\ &\qquad \rho_{61},\rho_{70},\rho_{73},\rho_{80},\rho_{90},\rho_{95},\rho_{99},\rho_{108},\rho_{110},\rho_{117} \ \} \notag \\ \Downarrow \notag \\ F_{20}&=[1,8,18,23,30,33,40,43,52,59,61,70,73,80,90,95,99,108,110,117] \notag \\ \end{align}
| \(class\) | \(\sharp \ \varLambda_i \) | \(elements \ \rho_j\) |
|---|---|---|
| \({\varLambda_1}\) | \(1\) | \([1]\) |
| \({\varLambda_2}\) | \(4\) | \([43,52,90,117]\) |
| \({\varLambda_3}\) | \(5\) | \([8,30,61,95,108]\) |
| \({\varLambda_4}\) | \(5\) | \([18,33,70,80,99]\) |
| \({\varLambda_5}\) | \(5\) | \([23,40,59,73,110]\) |
| \({i \backslash j}\) | \(\varLambda_1\) | \({\varLambda_2}\) | \({\varLambda_3}\) | \({\varLambda_4}\) | \({\varLambda_5}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \({\varLambda_1}\) | \(\varLambda_1\) | \({\varLambda_2}\) | \({\varLambda_3}\) | \({\varLambda_4}\) | \({\varLambda_5}\) |
| \({\varLambda_2}\) | \(\varLambda_2\) | \({4\varLambda_1+3\varLambda_2}\) | \({4\varLambda_3}\) | \({4\varLambda_4}\) | \({4\varLambda_5}\) |
| \({\varLambda_3}\) | \(\varLambda_3\) | \({4\varLambda_3}\) | \({5\varLambda_1+5\varLambda_2}\) | \({5\varLambda_5}\) | \({5\varLambda_4}\) |
| \({\varLambda_4}\) | \(\varLambda_4\) | \({4\varLambda_4}\) | \({5\varLambda_5}\) | \({5\varLambda_3}\) | \({5\varLambda_1+5\varLambda_2}\) |
| \({\varLambda_5}\) | \(\varLambda_5\) | \({4\varLambda_5}\) | \({5\varLambda_4}\) | \({5\varLambda_1+5\varLambda_2}\) | \({5\varLambda_3}\) |
【表8-2】の \(\varLambda_i \times \varLambda_j\) の計算の結果の表から3つの事が判ります。
(1) 左上1行1列の1つの枠の中身は \(\{\varLambda_1\}\) のみである。（自明ですが）
(2) 左上2行2列の4つの枠の中身は \(\{\varLambda_1,\varLambda_2\}\) のみである。（3,4等の係数は無視してください）
(3) 左上3行3列の9つの枠の中身は \(\{\varLambda_1,\varLambda_2,\varLambda_3\}\) のみである。（3,4,5等の係数は無視してください）
この事は、Frobenius群 \( F_{20}\) の正規部分群 \(\{e,C_5,D_5\}\) は以下の共役類の組み合わせで 構成されている事を意味しております。
\begin{align} e=\varLambda_1 \qquad C_5=\varLambda_1+\varLambda_2 \qquad D_5=\varLambda_1+\varLambda_2+\varLambda_3 \notag \\ \end{align}
\begin{align} F_{20}&=\varLambda_1+\varLambda_2+\varLambda_3+\varLambda_4+\varLambda_5 \notag \\ &=[1,8,18,23,30,33,40,43,52,59,61,70,73,80,90,95,99,108,110,117] \notag \\ \notag \\ D_5&=\varLambda_1+\varLambda_2+\varLambda_3=[1,8,30,43,52,61,90,95,108,117] \notag \\ \notag \\ C_5&=\varLambda_1+\varLambda_2=[1,43,52,90,117] \notag \\ \notag \\ e&=\varLambda_1=[1] \notag \\ \end{align}