数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【8-9】巡回拡大 \(F_3/F_2\) ：最小多項式 \(g_3(x)\) の計算
この節の計算は、下図Fig.8-4の2段目の緑の部分です。
今回適応するガロア群は、剰余群 \(C_5/e \) であり、5次の巡回群 \(C_5\) となります。
\(C_5\)の各要素\(\{\rho_i\}\)の添え字2桁の数字で煩雑なので、 \(\rho \equiv \sigma_{43}\) とします。 すると計算は少し複雑ですが、(9.2)の様に \(\rho\) が巡回群 \(C_5\) の生成元である事が判ります。 従って\( \{h_0,h_1,h_2,h_3,h_4 \}\) は(9.3)となります。
Step1 LRT(Lagrange Resolvent transformation)
\begin{align}
&Gal(F_3/F_2)=C_5/E \cong C_5=\{ \rho_{1},\rho_{43},\rho_{52},\rho_{90},\rho_{117} \} \\
\notag \\
&\rho \equiv \rho_{43}, \quad \rho^2=\rho_{117}, \quad \rho^3=\rho_{90}, \quad \rho^4=\rho_{52}, \quad \rho^5=e=\rho_1 \\
\end{align}
\begin{align} &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} h_0 \equiv (x-v)=(x-v_1) \\ h_1=\rho(h_0)=(x-v_{43}) \\ h_2=\rho(h_1)=\rho^2(h_0)=(x-v_{117}) \\ h_3=\rho(h_2)=\rho^3(h_0)=(x-v_{90}) \\ h_4=\rho(h_3)=\rho^4(h_0)=(x-v_{52}) \end{array} \right. \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} &\begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \\ t_2 \\ t_3 \\ t_4 \end{bmatrix} =\frac{1}{5} \begin{bmatrix} 1&1&1&1&1 \\ 1&\zeta&\zeta^2&\zeta^3&\zeta^4\\ 1&(\zeta^2)&(\zeta^2)^2&(\zeta^2)^3&(\zeta^2)^4\\ 1&(\zeta^3)&(\zeta^3)^2&(\zeta^3)^3&(\zeta^3)^4\\ 1&(\zeta^4)&(\zeta^4)^2&(\zeta^4)^3&(\zeta^4)^4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \\ h_2 \\ h_3 \\ h_4 \end{bmatrix} \\ \notag \\ &\qquad \qquad Z=\zeta^4+\zeta^3+\zeta^2+\zeta+1=0 \notag \\ \end{align}
(9.3)の \(v_i\) に(4.7)で定義された\(v\) の多項式を代入すると(9.5)となります。\(\{h_i\}\) は全て \(x\) の一次式となりますが、 \(h_0\)以外の定数項が複雑なので\(\{cb_0,cc_0,cd_0,ce_0\}\) と記します。\(cb_0\) のみ略記します。
\begin{align} h_0&=x-v, \quad h_1=x+cb_0, \quad h_2=x+cc_0, \quad h_3=x+cd_0, \quad h_4=x+ce_0\\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ cb_0&=\frac{1842652131618713141165321 {a_1} {a_2} {{v}^{4}}}{274783653925128983257243171440}+.....-\frac{20972115705844723956430642351}{2289863782709408193810359762} \notag \\ \end{align}
\begin{align} t_0&=x+3 \\ \notag \\ t_1&=-\frac{347828893813523464908459 {a_1} {a_2} {{v}^{4}} {{\zeta }^{3}}}{228986378270940819381035976200}-\frac{745259948412736253397035 {a_2} {{v}^{4}} {{\zeta }^{3}}}{6869591348128224581431079286}+... \notag \\ &\qquad \qquad ............ \notag \\ &+\frac{2942247769237028894958880059 {a_1}}{228986378270940819381035976200}-\frac{6676879355962104443052886159}{5724659456773520484525899405} \\ \notag \\ \end{align}
今回は5次の巡回拡大なので、他の巡回拡大では明確に見えなかった式変形の規則性が浮き出てきています。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \rho(t_0)=t_0=x+3 \ \in \ F_0[x] \\ \rho(t_1)=\zeta^{-1}t_1 \\ \rho(t_2)=\zeta^{-2}t_2 \\ \rho(t_3)=\zeta^{-3}t_3 \\ \rho(t_4)=\zeta^{-4}t_4 \\ \end{array} \right. \qquad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} \rho(t_1^4 \cdot t_1)=t_1^4 \cdot t_1 \\ \rho(t_1^3 \cdot t_2)=t_1^3 \cdot t_2 \\ \rho(t_1^2 \cdot t_3)=t_1^2 \cdot t_3 \\ \rho(t_1^1 \cdot t_4)=t_1 \cdot t_4 \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &\quad \therefore \ t_1^{5-i} \cdot t_i \ \in \ F_0[x] \ (=F_0) \quad (i=1,2,3,4) \quad (\ \because \ \zeta^{-5}=1 \ ) \end{align}
上式が成立する理由を以下に示します。例として、 (9.8)の左側の式の \(\rho(t_2)\) の計算例を下記に示します。
(9.3)を使うと下式の様に変形できます。
\begin{align} e.g. \quad \rho(t_2)&=\frac{1}{5}\rho \left (h_0+\zeta^{2\cdot 1}h_1+\zeta^{2\cdot 2}h_2+\zeta^{2\cdot 3}h_3+\zeta^{2\cdot 4}h_4 \right) \notag \\ &=\frac{1}{5} \left (\rho(h_0)+\zeta^{2\cdot 1}\rho(h_1)+\zeta^{2\cdot 2}\rho(h_2) +\zeta^{2\cdot 3}\rho(h_3)+\zeta^{2\cdot 4}\rho(h_4) \right) \notag \\ &=\frac{1}{5} \left (h_1+\zeta^{2\cdot 1}h_2+\zeta^{2\cdot 2}h_3 +\zeta^{2\cdot 3}h_4+\zeta^{2\cdot 4}h_0 \right) \notag \\ &=\frac{\zeta^{-2}}{5} \left (\zeta^{2\cdot 1}h_1+\zeta^{2\cdot 2}h_2 +\zeta^{2\cdot 3}h_3+\zeta^{2\cdot 4}h_4+ \zeta^{2\cdot 5}h_0 \right) \notag \\ &=\zeta^{-2}t_2 \notag \\ \notag \\ & \therefore \ \rho(t_2)=\zeta^{-2}t_2 \\ \notag \\ e.g. \quad \rho(t_1^3 \cdot t_2)&=\rho(t_1^3) \cdot \rho(t_2)=\rho(t_1)^3 \cdot \rho(t_2) \notag \\ &=\bigl(\zeta^{-1}t_1 \bigr)^3 \cdot \bigl(\zeta^{-2}t_2 \bigr)= \zeta^{-3} \cdot \zeta^{-2} \cdot t_1^3 \cdot t_2 =t_1^3 \cdot t_2 \notag \\ \notag \\ & \therefore \ \rho(t_1^3 \cdot t_2)=t_1^3 \cdot t_2 \ \in F_2[x](=F_2) \\ \end{align}