数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【8-4】方程式 \(f(x)\) のガロア群とその組成列
前節の議論より \(F_0\) 上の自己同型写像全体は、Frobenius群 \(\{ \rho_{1},\rho_{8},...,\rho_{117}\}\) である事がわかりました。Frobenius群は(4.1)に示すような組成列を持ちます。ガロア理論では、(4.1-2)に示すように、組成列の4つの群 \(\{ \ F_{20},D_5, C_5,e \ \}\) に 対応する4つの体 \(\{ \ F_0,F_1,F_2,F_3 \ \}\) が存在します。
この時、体の拡大 \(\{F_1/F_0, / F_2/F_1, / F_3/F_2 / \}\) はそれぞれガロア拡大となります。それぞれの拡大次数は(4.3-5)に示すように素数の \([ \ 2,2,5 \ ]\) です。
素数次の拡大は巡回拡大（冪根拡大）となります。この巡回拡大を続けてゆくにつれて、\(v\) の最小多項式の次数は、20次から1次まで減少します。 最終的には、1次の最小多項式の解が原始根 \(v\)の値となり、この値を使って \(f(x)\) の根を求める事が出来ます。 この計算過程が、ガロア理論を使った方程式の解法となるわけです。
\begin{align} &Gal(F_0(v)/F_0) =\{\rho_{1}, \rho_{8},..., \rho_{117}\} =F_{20} : \ Galois \ group \ of \ F_0(v)/F_0 \notag \\ \notag \\ & \ Composition \ series \ of \ Galois \ group \ F_{20} \notag \\ \end{align} \begin{align} &F_{20} &\rhd & &D_5 & &\rhd & &C_5 & &\rhd &\qquad &e \\ &\updownarrow & & &\updownarrow & & & &\updownarrow & & & &\updownarrow \notag \\ &F_0 &\rightarrow & &F_1 & &\rightarrow & &F_2 & &\rightarrow &\qquad &F_3 \ ( \ \cong F_0(v)) \\ \end{align} \begin{align} & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ & Galois \ extension & & & &Galois \ Group \notag \\ \notag \\ &[1] \quad [ \ F_1:F_0 \ ]=2 & &\rightarrow & &Gal(F_1/F_0) = F_{20}/D_5 \cong C_2 \\ \notag \\ &[2] \quad [ \ F_2:F_1 \ ]=2 & &\rightarrow & &Gal(F_2/F_1) = D_5/C_5 \cong C_2 \\ \notag \\ &[3] \quad [ \ F_3:F_2 \ ]=5 & &\rightarrow & &Gal(F_3/F_2) = C_5/e \cong C_5 \\ \end{align}
（補足）上記組成列に対応するガロア群の自己同型写像の要素は以下の通りです。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} F_{20}&=\{\rho_{1},\rho_{8},\rho_{18},\rho_{23},\rho_{30},\rho_{33},\rho_{40},\rho_{43},\rho_{52},\rho_{59}, \\ &\qquad \rho_{61},\rho_{70},\rho_{73},\rho_{80},\rho_{90},\rho_{95},\rho_{99},\rho_{108},\rho_{110},\rho_{117}\} \\ D_{5}&=\{\rho_{1},\rho_{8},\rho_{30},\rho_{43},\rho_{52},\rho_{61},\rho_{90},\rho_{95},\rho_{108},\rho_{117}\} \\ C_{5}&=\{\rho_{1},\rho_{43},\rho_{52},\rho_{90},\rho_{117}\} \\ e&=\{\rho_{1}\} \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
【本方程式解法の全体像】
方程式 \(f(x)=0\) を解くと言う事は、実際には \(v\) の最小多項式 \(g_0(x)=0\) を解くと言う事と同じです。
その為には、次数20次の \(g_0(x)\) から次数1次の \(g_3(x)\) に次数を低減する必要があります。何故なら1次方程式は簡単に解けるからです。 そして、 \([ \ g_3(x)=0 \ ]\) という方程式の解が \(v\) の値となるので、その値を \(f(x)\) の5根の多項式表現に代入すれば根の値が求まるという訳です。
下の【Fig.8-1】は、最小多項式の次数を20次から1次まで低減して行く全体像です。最小多項式の次数を低減させる計算は、 下図の第3段から第5段の3つの緑色の部分です。計算手順は従来と全く同じです。
（注）5段目の緑の部分に関して一言付け加えます。この3次の巡回拡大の計算の際に現れる二項方程式を解く際には、 必ず1の5乗根 \(\zeta\) が必要となります。その為に、基礎体を \(F_0=Q(\zeta)\) としてあります。
因みに \(\zeta\) の計算は、2段目の水色の部分ですが、第6章でガロアの理論を使って解いてあります。
ここで念のために、自己同型写像 \(\rho_i\) の具体例を下記に示しておきます。
前節の(3.9)で5根 \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma, \ \delta, \ \epsilon \}\) の \(v\) による多項式表現が得られました。この表現を(3.13)に示した \([ \ g_0(v_i)=0 \ ]\) を満足する \(v_i\) の \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma, \ \delta, \ \epsilon \}\) に代入した結果が以下の \(v_i\) の多項式となります。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \rho_{1}(v)&=v_1=v \\ \\ \rho_{8}(v)&=v_{8} \\ &=-\frac{133331033195854218581143776578181391452432048630506257215661749358683702340919406774305}{5366671045360946337711563131198807836312026429897537141762802383012234618894759574097401066582216}v^{19} \\ &+....... \\ &-\frac{18391034216115057068056545590500555623378294738228265816045468603483608211169279040561065851949}{550936356160655614178376258207453838036343951329179462248516824043962079755133926095616575976} \\ \\ &\qquad ................... \\ \\ \rho_{117}(v)&=v_{117} \\ &=-\frac{5590408749806676916395431758821885800424084543348198946061458423141242698244995251510 }{670833880670118292213945391399850979539003303737192142720350297876529327361844946762175133322777}v^{19} \\ &+....... \\ &+\frac{9099410169154790531949775402688292686891884012597958033487409820819172417228945824885510521633}{1101872712321311228356752516414907676072687902658358924497033648087924159510267852191233151952} \\ \end{array} \right. \\ \end{align}