数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【2-1】 方程式 \(f(x)=x^3+3x+1\) とその周辺
第2章の目的は、ガロア理論を使って、以下の方程式の3根 \(\{\alpha,\beta,\gamma\}\) を求めることです。\(f(x)\) の係数は有理数体 \(Q\) の数ですが、今後、解を求める計算過程で、1の3乗根 \(\omega\) が必要となります。そこで予め有理数体 \(Q\) に \(\omega\) 添加しておく必要があります。 そこで、この章では基礎体 \(F_0\) を \( \boldsymbol{F_0 \equiv Q(\omega)}\) としておきます。 また、基礎体 \(F_0\) 上の多項式の集合を \(F_0[x]\) と書きます。
\begin{align} f(x)&=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)= x^3+3x+1=0 \qquad \in F_0[x] \\ \end{align}
ガロアは、\(f(x)\) の3根を使って、下(1.2)で定義される「原始元」\(primitive \ element\) という概念を導入しました。 \(\{ \alpha,\beta,\gamma \}\) の係数 \(\{1,2,3\}\) は、異なる数値であればなんでも良いです。
\begin{align} v &\equiv 1 \cdot \alpha +2 \cdot \beta +3 \cdot \gamma \quad: \ primitive \ element \\ \end{align}
次に少し脇道にそれますが、後で必要となる関係式を導いておきます。 \(f(x)\) を \(\{ \ (x-\alpha), \ (x-\beta),(x \ -\gamma) \ \}\) の 3式を使って、以下の様に順次割り算してゆきます。
\begin{align} f(x)&=x^3+3x+1 \notag \\ \notag \\ f(x)&=(x-\alpha)(x^2+\alpha x+\alpha^2+3)+(\alpha^3+3 \alpha +1) \notag \\ &=(x-\alpha)q_1(x)+r_1\\ \notag \\ q_1(x)&=(x-\beta)( x+\alpha+\beta )+(\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2+3) \notag \\ &=(x-\beta)q_2(x)+r_2\\ \notag \\ q_2(x)&=(x-\gamma) \cdot 1+(\alpha+\beta+\gamma) \notag \\ &=(x-\gamma)q_3(x)+r_3\\ \end{align}
\(f(x)\)の根は \(\{\alpha,\beta,\gamma\}\) なので、上記割り算の各ステップの余り \(\{r_1,r_2,r_3\}\) もゼロでなければなりません。
従って(1.6-8)が成り立ちます。 これらは「剰余の定理」から導き出された \(\{\alpha,\beta,\gamma\}\) の間に成り立つ非常に重要な関係式です。
\begin{align} f(\alpha)&=0 & &\rightarrow & r_1&=\alpha^3+3 \alpha +1=0\\ &\Downarrow & & & & \notag \\ \therefore \ q_1(\beta)&=0 & &\rightarrow & r_2&=\beta^2+\alpha \beta +\alpha^2+3=0\\ &\Downarrow & & & & \notag \\ \therefore \ q_2(\gamma)&=0 & &\rightarrow & r_3&=\alpha+\beta+\gamma=0\\ \end{align}
【1-2】 ガロア拡大に向けての準備
原始元を導入した目的は、原始元 \(v\) を基礎体 \(F_0\) に添加して、単拡大 \(F_0(v)\) を作る為です。更にこの単拡大 \(F_0(v)\) を ガロア拡大にしたいという思惑があるからです。しかし \(F_0(v)\) がガロア拡大であるためには、以下の2つの要件を満たす事が必要です。
[1] \(F_0(v)\) は分離拡大である。すなわち \(v\) の最小多項式が重根を持たない事。
[2] \(F_0(v)\) は正規拡大である。すなわち \(F_0(v)\) が \(v\) の最小多項式の全ての根を含む事。
上記の2つの条件を考察するためには、単拡大 \(F_0(v)\) を生成する原始元 \(v\) の最小多項式を作る必要があります。
その為に次の多項式を考えます。式の中の \(\sigma_i\) は、 \(\{ \alpha,\beta,\gamma\}\) を置換操作をする対称群 \(S_3\) の元です。
\begin{align} V(x)&\equiv \displaystyle \prod_{i=1}^6\sigma_i(x-v)=(x-v_{1})(x-v_{2})(x-v_{3})(x-v_{4})(x-v_{5})(x-v_{6}) \\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &\sigma_{1}=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 1&2&3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha&\beta&\gamma \\ \alpha&\beta&\gamma \end{pmatrix} & &\sigma_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 1&3&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha&\beta&\gamma \\ \alpha&\gamma&\beta \end{pmatrix} \\ &\sigma_{3}=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&1&3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha&\beta&\gamma \\ \beta&\alpha&\gamma \end{pmatrix} & &\sigma_{4}=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&3&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha&\beta&\gamma \\ \beta&\gamma&\alpha \end{pmatrix} \\ &\sigma_{5}=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 3&1&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha&\beta&\gamma \\ \gamma&\alpha&\beta \end{pmatrix} & &\sigma_{6}=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 3&2&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha&\beta&\gamma \\ \gamma&\beta&\alpha \end{pmatrix} \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
上記対称群 \(S_3\) の元 \(\sigma_i\) の置換操作は、あくまで \(\{ \alpha,\beta,\gamma\}\) に対する置換操作です。
しかし \(v\) は(1.2)で \(\{ \alpha,\beta,\gamma\}\) と関係しているので、 \(\sigma_i\) の \(v\) に対する作用を考えることはできます。
例として \(\sigma_4\) の \(v\) に対する作用を下に示しておきます。
\begin{align} \sigma_4(v)&=\sigma_4(\alpha+2\beta+3\gamma) =\sigma_4(\alpha)+2\sigma_4(\beta)+3\sigma_4(\gamma) =\beta+2\gamma+3\alpha \notag \\ \end{align}
ここで \(\sigma_i(v) \equiv v_i \quad [ \ i=1,2,...6 \ ]\) と定義します。
\begin{align} \sigma_{1}(v)=\alpha+2\beta+3\gamma &\equiv v_1 & \sigma_{2}(v)=\alpha+2\gamma+3\beta &\equiv v_2 \notag \\ \sigma_{3}(v)=\beta+2\alpha+3\gamma &\equiv v_3 & \sigma_{4}(v)=\beta+2\gamma+3\alpha &\equiv v_4 \\ \sigma_{5}(v)=\gamma+2\alpha+3\beta &\equiv v_5 & \sigma_{6}(v)=\gamma+2\beta+3\alpha &\equiv v_6 \notag \\ \end{align}
突然ですが、(Fig.2-1)の説明をしておきます。
この図は、これからの計算過程を俯瞰するものです。
実は、単拡大 \(F_0(v)\) は \(F_0\) のガロア拡大となり 左図の \(F_2\) と同じ体である事が判ります。
その拡大過程では、
\(F_0 \ \rightarrow \ F_1 \ \rightarrow \ F_2 \ (\equiv F_0(v) ) \)
と2段階にわたって拡大する事になります。
その際、2つの巡回拡大に分裂する様子を左図は示しております。 2つの緑色の部分は、その分裂した巡回拡大を計算する過程を示しています。
因みに水色の部分は、第１章の \(\omega\) を求めた部分です。