数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【3-1】 方程式 \(f(x)=x^4+4x+2\) とその周辺
第3章の計算自体は第2章と全く同じです。但し、計算過程での多項式の係数が非常に複雑なので、計算結果をかなり省略してあります。 計算の論理は第2章と全く同じなのでそれを参考にしてください。第3章の目的は、ガロア理論を使って、以下の方程式の3根 \(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}\) を求めることです。
\(f(x)\) の係数は有理数体 \(Q\) の数ですが、今後、解を求める計算過程で 1の3乗根 \(\omega\) を必要とするので、 予め有理数体 \(Q\) に添加しておく必要があります。 そこで、この章では基礎体 \(F_0\) を、 \( \boldsymbol{F_0 \equiv Q(\omega)}\) としておきます。 また、基礎体 \(F_0\) 上の多項式の集合を \(F_0[x]\) と書きます。
\begin{align} f(x)&=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)= x^4+4x+2=0 \qquad \in F_0[x] \\ \end{align}
次に \(f(x)\)を\(\{ (x-\alpha), (x-\beta),(x -\gamma),(x -\delta) \}\) の4式を使って、以下の様に順次割り算してゆきます。
\begin{align} &f(x)=x^4+4x+2 =(x-\alpha)(x-\beta)(x \ -\gamma)(x \ -\delta) \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} f(x)=(x-\alpha)q_1(x)+r_1 \\ q_1(x)=x^3+{{x}^{2}}\alpha+x {{\alpha }^{2}}+ {{\alpha }^{3}} +4\\ r_1={{\alpha }^{4}}+4 \alpha +2 \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} q_1(x)=(x-\beta)q_2(x)+r_2 \\ q_2(x)={{x}^{2}}+x\, \left( \beta +\alpha \right)+{{\beta }^{2}} +\alpha \beta +{{\alpha }^{2}} \\ r_2= {{\beta }^{3}}+\alpha {{\beta }^{2}}+{{\alpha }^{2}} \beta +{{\alpha }^{3}}+4 \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} q_2(x)=(x-\gamma)q_3(x)+r_3 \\ q_3(x)=x+\gamma +\beta +\alpha \\ r_3= {{\gamma }^{2}}+\left( \beta +\alpha \right) \gamma +{{\beta }^{2}}+\alpha \beta +{{\alpha }^{2}}\\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} q_3(x)=(x-\delta)q_4(x)+r_4 \\ q_4(x)=1 \\ r_4=\delta +\gamma +\beta +\alpha \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
(1.7)の各式は「剰余の定理」から導き出された \(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}\) の間に成り立つ重要な関係式です。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &f(\alpha)=0 \ \Rightarrow \ r_1={{\alpha }^{4}}+4 \alpha +2=0 \\ &q_1(\beta)=0 \ \Rightarrow \ r_2={{\beta }^{3}}+\alpha {{\beta }^{2}}+{{\alpha }^{2}} \beta +{{\alpha }^{3}}+4=0 \\ &q_2(\gamma)=0 \ \Rightarrow \ r_3= {{\gamma }^{2}}+\left( \beta +\alpha \right) \gamma +{{\beta }^{2}}+\alpha \beta +{{\alpha }^{2}}=0\\ &q_3(\delta)=0 \ \Rightarrow \ r_4=\delta +\gamma +\beta +\alpha=0 \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
話を元に戻します。ガロアは、\(f(x)\)の4根を使って、(1.8)で定義される「原始元」\(primitive \ element\) という概念を導入しました。 ここで、\(\{ \alpha,\beta,\gamma,\delta\}\) の係数 \(\{1,2,3,4\}\) は、異なる数値であればなんでも良いです。
\begin{align} v &\equiv 1 \cdot \alpha +2 \cdot \beta +3 \cdot \gamma +4 \cdot \delta \quad: \ primitive \ element \\ \end{align}
【3-2】 対称群 \(S_4\) の導入
原始元を導入した目的は、原始元 \(v\) を基礎体 \(F_0\) に添加して、単拡大 \(F_0(v)\) を作る為です。更にこの単拡大 \(F_0(v)\) を ガロア拡大にしたいという思惑があるからです。しかし \(F_0(v)\) がガロア拡大であるためには、以下の2つの要件を満たす事が必要です。[1] \(F_0(v)\) は分離拡大である。すなわち \(v\) の最小多項式が重根を持たない事。
[2] \(F_0(v)\) は正規拡大である。すなわち \(F_0(v)\) が \(v\) の最小多項式の全ての根を含む事。
上記の2つの条件を満たすためには、まず原始元 \(v\) の最小多項式を作る必要があります。その為に次の多項式を考えます。式の中の \(\sigma_i\) は、 \(\{ \alpha,\beta,\gamma,\delta\}\) を置換操作をする対称群 \(S_4\) の元です。
\begin{align} V(x)&\equiv \displaystyle \prod_{i=1}^{24}\sigma_i(x-v)=(x-v_{1})(x-v_{2})(x-v_{3})....(x-v_{23})(x-v_{24}) \\ \end{align}
\begin{align} \sigma_{10}=\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha&\beta&\gamma&\delta \\ \beta &\gamma&\delta&\alpha \end{pmatrix} \equiv \ \bbox[#FFFF00]{ [2,3,4,1] }\\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} \sigma_{1}=&[1,2,3,4] & \sigma_{2}=&[1,2,4,3] & \sigma_{3}=&[1,3,2,4] & \sigma_{4}=&[1,3,4,2] \notag \\ \sigma_{5}=&[1,4,2,3] & \sigma_{6}=&[1,4,3,2] & \sigma_{7}=&[2,1,3,4] & \sigma_{8}=&[2,1,4,3] \notag \\ \sigma_{9}=&[2,3,1,4] & \sigma_{10}=& \bbox[#FFFF00]{[2,3,4,1] } & \sigma_{11}=&[2,4,1,3] & \sigma_{12}=&[2,4,3,1] \\ \sigma_{13}=&[3,1,2,4] & \sigma_{14}=&[3,1,4,2] & \sigma_{15}=&[3,2,1,4] & \sigma_{16}=&[3,2,4,1] \notag \\ \sigma_{17}=&[3,4,1,2] & \sigma_{18}=&[3,4,2,1] & \sigma_{19}=&[4,1,2,3] & \sigma_{20}=&[4,1,3,2] \notag \\ \sigma_{21}=&[4,2,1,3] & \sigma_{22}=&[4,2,3,1] & \sigma_{23}=&[4,3,1,2] & \sigma_{24}=&[4,3,2,1] \notag \\ \end{align}
上記対称群 \(S_4\) の元 \(\sigma_i\) の置換操作は、あくまで \(\{ \alpha,\beta,\gamma,\delta \}\) に対する置換操作です。
しかし \(v\) は(1.8)の式で \(\{ \alpha,\beta,\gamma,\delta\}\) と関係しているので、\(v\) に対する作用を考えることはできます。 例として \(\sigma_4\) の \(v\) に対する作用を下に示しておきます。
\begin{align} \sigma_9(v)&=\sigma_9(\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta) =\sigma_9(\alpha)+2\sigma_9(\beta)+3\sigma_9(\gamma)+4\sigma_9(\delta) =\beta+2\gamma+3\alpha+4\delta \notag \\ \end{align}
ここで \(\sigma_i(v) \equiv v_i \quad [ \ i=1,2,...24 \ ]\) と定義します。
\begin{align} \sigma_{1}(v)&=4 \delta +3 \gamma +2 \beta +\alpha \equiv v_1 & \sigma_{2}(v)&=3 \delta +4 \gamma +2 \beta +\alpha \equiv v_2 \\ \sigma_{3}(v)&=4 \delta +2 \gamma +3 \beta +\alpha \equiv v_3 & \sigma_{4}(v)&=3 \delta +2 \gamma +4 \beta +\alpha \equiv v_4 \notag \\ \sigma_{5}(v)&=2 \delta +4 \gamma +3 \beta +\alpha \equiv v_{5} & \sigma_{6}(v)&=2 \delta +3 \gamma +4 \beta +\alpha \equiv v_{6} \notag \\ \sigma_{7}(v)&=4 \delta +3 \gamma +\beta +2 \alpha \equiv v_{7} & \sigma_{8}(v)&=3 \delta +4 \gamma +\beta +2 \alpha \equiv v_{8} \notag \\ \sigma_{9}(v)&=4 \delta +2 \gamma +\beta +3 \alpha \equiv v_{9} & \sigma_{10}(v)&=3 \delta +2 \gamma +\beta +4 \alpha \equiv v_{10} \notag \\ \sigma_{11}(v)&=2 \delta +4 \gamma +\beta +3 \alpha \equiv v_{11} & \sigma_{12}(v)&=2 \delta +3 \gamma +\beta +4 \alpha \equiv v_{12} \notag \\ \sigma_{13}(v)&=4 \delta +\gamma +3 \beta +2 \alpha \equiv v_{13} & \sigma_{14}(v)&=3 \delta +\gamma +4 \beta +2 \alpha \equiv v_{14} \notag \\ \sigma_{15}(v)&=4 \delta +\gamma +2 \beta +3 \alpha \equiv v_{15} & \sigma_{16}(v)&=3 \delta +\gamma +2\beta +4 \alpha \equiv v_{16} \notag \\ \sigma_{17}(v)&=2 \delta +\gamma +4 \beta +3 \alpha \equiv v_{17} & \sigma_{18}(v)&=2 \delta +\gamma +3 \beta +4 \alpha \equiv v_{18} \notag \\ \sigma_{19}(v)&=\delta +4 \gamma +3 \beta +2 \alpha \equiv v_{19} & \sigma_{20}(v)&=\delta +3 \gamma +4 \beta +2 \alpha \equiv v_{20} \notag \\ \sigma_{21}(v)&=\delta +4 \gamma +2 \beta +3 \alpha \equiv v_{21} & \sigma_{22}(v)&=\delta +3 \gamma +2 \beta +4 \alpha \equiv v_{22} \notag \\ \sigma_{23}(v)&=\delta +2 \gamma +4 \beta +3 \alpha \equiv v_{23} & \sigma_{24}(v)&=\delta +2 \gamma +3 \beta +4 \alpha \equiv v_{24} \notag \\ \end{align}