【補足1】 代数体上での因数分解
APX1-1 \(Res(f(x+v),g(v),v)\) の分析(1)
代数体上での因数分解の話で先ず問題になるのは、後述する終結式を使った「元吉アルゴリズム」と 呼ばれる話題です。このアルゴリズムを使って計算を実行する前に、終結式の分析をすることで、 \(f(x)\) が代数体 \(F_0(v)\) 上で、「何故因数分解できるのか？」の問いに対して、平易な（？）考え方を試みてみました。\begin{align} \setCounter{0} &f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)....(x-\alpha_n) \notag \\ &g(x)=(x-\beta_1)(x-\beta_2)....(x-\beta_m) \notag \\ &Res(f(x),g(x),x)=\prod_{i=1}^{n}g(\alpha_i)=(-1)^{nm}\prod_{j=1}^{m}f(\beta_j) =\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{m}(\alpha_i-\beta_j)\\ \end{align}
以下の式は良く教科書に載っている終結式の定義式です。
\begin{align} Res(f(x),g(x),x)=\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{m}(\alpha_i-\beta_j) \\ \end{align}
\begin{align} Res(f(x),g(x),x)&=(-1)^{nm}\prod_{j=1}^{m}f(\beta_j) \\ &= \bbox[#FFC0CB]{ (-1)^{nm}f(\beta_1) \cdot f(\beta_2) ... f(\beta_m) } \notag \\ &=(-1)^{nm}(\beta_1-\alpha_1)(\beta_1-\alpha_2)...(\beta_1-\alpha_n) \notag \\ &\times(\beta_2-\alpha_1)(\beta_2-\alpha_2)...(\beta_2-\alpha_n) \notag \\ &\qquad \qquad ... \notag \\ &\times(\beta_m-\alpha_1)(\beta_m-\alpha_2)...(\beta_m-\alpha_n) \notag \\ &=\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{m}(\alpha_i-\beta_j) \notag \\ \end{align}
\(f(x-sv)\) と \(g(v)\) の終結式 \(Res(f(x+v),g(v),v)\) です。(但し今回は \(s=-1\) とします。)
【例題2】では \(g(x)\) の根は \(\{v_1,v_4,v_5\}\) の3個ですから終結式(3)は下式の様になります。
この時、終結式の2つの多項式は、変数を\(v\)としていることに注意してください。 従って式(3)の \(\beta_i\) は \(\{v_1,v_4,v_5\}\) に対応しますからので、\(f(x+v)\) の変数 \(v\) に この \(\{v_1,v_4,v_5\}\) を代入します。
\begin{align} f(x+v)&=(x+v-\alpha)(x+v-\beta)(x+v-\gamma) \notag \\ \notag \\ \therefore \quad Res( f(x+ &v),g(v),v)= \bbox[#FFC0CB]{ (-1)^{3 \cdot 3} \times f(x+v_1) \cdot f(x+v_4) \cdot f(x+v_5) } \notag \\ =(-1)&\left\{\bbox[#FFFF00]{(x+v_1-\alpha)}\bbox[#7FFF00]{(x+v_1-\beta)} \bbox[#00FFFF]{(x+v_1-\gamma)} \right \} \notag \\ \times &\left\{ (x+v_4-\alpha)(x+v_4-\beta)(x+v_4-\gamma) \right \} \notag \\ \times &\left\{ (x+v_5-\alpha)(x+v_5-\beta)(x+v_5-\gamma) \right \} \\ \end{align}
もう少し式(4)を見てみます。その為に、式(4)の第1行目の3つの1次式を式(5)の様に定義します。
\begin{align} Y_1=\bbox[#FFFF00]{(x+v_1-\alpha)}\quad Y_2=\bbox[#7FFF00]{(x+v_1-\beta)} \quad Y_3=\bbox[#00FFFF]{(x+v_1-\gamma) } \\ \end{align}
これ以降の作業は、【例題2】の \(f(x)\) のガロア群 \(A_3=\{\sigma_1,\sigma_4,\sigma_5\}\) で 不変な式を求める事です。
その為に、この \(\{ \ Y_1,Y_2,Y_3 \ \}\) に対する \(A_3\) の要素による変換を考えてみます。 その際に下記の変換表【APX1-1】【APX1-2】を利用すると、式(5)の各 \(Y_i\) の変換は【APX1-3】と なります。
| \( i \backslash j \) | \(\sigma_i(v_1)\) | \(\sigma_i(v_4)\) | \(\sigma_i(v_5)\) |
|---|---|---|---|
| \(\sigma_1\) | \(v_1\) | \(v_4\) | \(v_5\) |
| \(\sigma_4\) | \(v_4\) | \(v_5\) | \(v_1\) |
| \(\sigma_5\) | \(v_5\) | \(v_1\) | \(v_4\) |
| \( i \backslash j \) | \(\sigma_i(\alpha)\) | \(\sigma_i(\beta)\) | \(\sigma_i(\gamma)\) |
|---|---|---|---|
| \(\sigma_1\) | \(\alpha\) | \(\beta\) | \(\gamma\) |
| \(\sigma_4\) | \(\beta\) | \(\gamma \) | \(\alpha\) |
| \(\sigma_5\) | \(\gamma\) | \(\alpha\) | \(\beta\) |
| \( i \backslash j \) | \(\sigma_i(Y_1)\) | \(\sigma_i(Y_2)\) | \(\sigma_i(Y_3)\) |
|---|---|---|---|
| \(\sigma_1\) | \(x+v_1-\alpha\) | \(x+v_1-\beta\) | \(x+v_1-\gamma\) |
| \(\sigma_4\) | \(x+v_4-\beta\) | \(x+v_4-\gamma\) | \(x+v_4-\alpha\) |
| \(\sigma_5\) | \(x+v_5-\gamma\) | \(x+v_5-\alpha\) | \(x+v_5-\beta\) |
【表APX1-3】で \(\{\sigma_i(Y_1),\sigma_i(Y_2),\sigma_i(Y_3)\}\) を3つのグループとしたとき、 式(4)の9つの1次式がどのグループに所属するかを、判りやすくするために、3色で塗分けると式(6)の様になります。
そして同じ色の1次式の積を \(\{ \ H_1,H_2,H_3 \ \}\) と定義したのが式(7)です。
\begin{align} &Res(f(x+v),g(v),v)=(-1)^{3 \cdot 3} \times f(x+v_1) \cdot f(x+v_4) \cdot f(x+v_5) \notag \\ \notag \\ &=(-1)\left\{\bbox[#FFFF00]{ (x+v_1-\alpha) }\bbox[#7FFF00]{(x+v_1-\beta)}\bbox[#00FFFF]{(x+v_1-\gamma)} \right \} \notag \\ &\qquad \times \left\{\bbox[#00FFFF]{ (x+v_4-\alpha)}\bbox[#FFFF00]{ (x+v_4-\beta)}\bbox[#7FFF00]{(x+v_4-\gamma)} \right \} \notag \\ &\qquad \times \left\{\bbox[#7FFF00]{(x+v_5-\alpha)}\bbox[#00FFFF]{(x+v_5-\beta)}\bbox[#FFFF00]{ (x+v_5-\gamma)} \right \} \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \bbox[#FFFF00]{ H_1=(x+v_1-\alpha)(x+v_4-\beta)(x+v_5-\gamma)}\\ \bbox[#7FFF00]{ H_2=(x+v_1-\beta)(x+v_4-\gamma)(x+v_5-\alpha)}\\ \bbox[#00FFFF]{ H_3=(x+v_1-\gamma)(x+v_4-\alpha)(x+v_5-\beta)} \end{array} \right. \\ \notag \\ & \therefore \qquad Res(f(x+v),g(v),v)=(-1) \cdot H_1 \cdot H_2 \cdot H_3\\ \end{align}
次に上で求めた\(\{ \ H_1,H_2,H_3 \ \}\) が、ガロア群 \(A_3\) の要素でどの様に変換されるのか見てみます。
例として \(H_2\) に対して\(A_3\)の用途を作用させてみます。勿論、その際に前頁の【表APX1-1】【表APX1-2】を 利用します。 計算の結果は式(10)に示す様に、各項の順序が入れ替わるだけで、\(H_2\)全体では不変です。他の式も同様で 式(11)が成り立ちます。
\begin{align} H_2&=(x+v_1-\beta)(x+v_4-\gamma)(x+v_5-\alpha) \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1(H2)=(x+v_1-\beta)(x+v_4-\gamma)(x+v_5-\alpha)=H_2 \\ \sigma_4(H2)=(x+v_4-\gamma)(x+v_5-\alpha)(x+v_1-\beta)=H_2 \\ \sigma_5(H2)=(x+v_5-\alpha)(x+v_1-\beta)(x+v_4-\gamma)=H_2 \end{array} \right. \\ \notag \\ \therefore \quad &\left\{ \begin{array}{l} H_1=\sigma_1(H_1)=\sigma_4(H_1)=\sigma_5(H1) \\ H_2=\sigma_1(H_2)=\sigma_4(H_2)=\sigma_5(H2) \\ H_3=\sigma_1(H_3)=\sigma_4(H_3)=\sigma_5(H3) \end{array} \right. \\ \end{align}
これが求める式でした。当然、基礎体 \(F_0\) 上の多項式となるはずです。次にそれを確認します。
次ページに続く
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