ガロア理論を使って方程式を解く具体的な計算方法

ガロア理論を使って方程式を解いた事ありますか？

【例題1】　EX1-RT1 　EX1-RT2 　EX1-RT3 　EX1-RT4　　　ガロア群
　　　　　　　　　$f(x)=x^3+3x+1$　　　　　　　　　　　$S_3$
【例題2】　EX2　 $f(x)=x^3-3x+1$　　　　　　　　　　　$A_3$
【例題3】　EX3　 $f(x)=x^5-10x^3+5x^2+10x+1$　　$ \ \ C_5$
【例題4】　EX4　 $f(x)=x^4+4x+2$　　　　　　　　　　　$S_4$

　　　　【補足1】　APX1　代数体上での因数分解
　　　　【補足2】　APX2　１の原始冪乗根 $"\omega \ and \ \zeta_5"$ の計算
　　　　【補足3】　APX3　巡回多項式と円分方程式 $\Phi_{17}(x)$
　　　　【補足4】　APX4　添加数生成時の計算のポイント
　　　　【補足5】　APX5　$x^3-2=0, \ x^5-3=0$ に関して
　　　　【補足6】　APX6　拡大体 $F_i$ での計算の注意点

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⇦　　　 Home　　　 ⇨

APX1-2　元吉論文のアルゴリズムでの $f(x)$ の因数分解計算　（続き）

前頁式(39)と(48)を併せる事により、$f(x)$ の $F_0(v)$ 上での因数分解と 3根を求める計算をしてみます。

\begin{align} \setCounter{48} &\left\{ \begin{array}{l} \quad f_1(x)=GCD(R_1(x),f(x+v))=\bbox[#FFFF00]{(x+v-\alpha)= x+\frac{{{v}^{2}}}{3}+v-2}\\ \quad f_2(x)=GCD(R_2(x),f(x+v))=\bbox[#7FFF00]{(x+v-\beta)= x-\frac{2 {{v}^{2}}}{3}+2 v+4 }\\ \quad f_3(x)=GCD(R_3(x),f(x+v))=\bbox[#00FFFF]{(x+v-\gamma)=x+\frac{{{v}^{2}}}{3}-2 } \end{array} \right. \\ \end{align}

式(49)の1行目の黄色い部分の等式を、下式(50)の様に移項して変形すると $\alpha$ を求める事が出来ます。
2行目3行目も同様な変形をすると、$f(x)$ の3根は式(51)として求める事が出来ました。

\begin{align} &x+v-\alpha= x+\frac{{{v}^{2}}}{3}+v-2 \notag \\ &\alpha=(x+v)-\left( x+\frac{{{v}^{2}}}{3}+v-2 \right)=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+2 \\ \notag \\ \therefore \quad &\alpha=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+2 \qquad \beta=\frac{2 {{v}^{2}}}{3}- v-4 \qquad \gamma=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+v+2 \end{align}

又、式(49)の1行目の等式の $x$ を $[ \ x \rightarrow x-v \ ]$ と変換すると式(52)の様に変形できます。
2行目、3行目にも同様な変形をすると式(53)のようになります。

\begin{align} &f_1(x)=(x+v-\alpha)= x+\frac{{{v}^{2}}}{3}+v-2 \notag \\ &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &f_1(x-v)=(x-\alpha)= x+\frac{{{v}^{2}}}{3}-2 \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} f_1(x-v)=(x-\alpha)= x+\frac{{{v}^{2}}}{3}-2\\ f_2(x-v)=(x-\beta)= x-\frac{2 {{v}^{2}}}{3}+v+4\\ f_3(x-v)=(x-\gamma)=x+\frac{{{v}^{2}}}{3}-v-2 \end{array} \right. \\ \end{align}

そして、上式(53)の3式を全て掛合せると、以下の式(54)の様に $f(x)$ となり、更に式(55)の様に代数体 $F_0(v)$ 上で $f(x)$の因数分解が可能になる事が判りました。

以上で「元吉アルゴリズム」の最後の式が成立する事が確認できました。

\begin{align} f_1(x-v)f_2(x-v)f_3(x-v)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=f(x) \\ \notag \\ f(x)=\left( x+\frac{{{v}^{2}}}{3}-2 \right)\left( x-\frac{2 {{v}^{2}}}{3}+v+4 \right)\left( x+\frac{{{v}^{2}}}{3}-v-2 \right) \\ \end{align}

参考までに代数計算ソフトmaximaに代数体での因数分解をやらせた命令が以下の式です。

　　fx:x^3-3*x+1\$
　　gv:v^3-9*x-9\$
　　fxgv:factor(fx,gv);
　　\[\frac{( 3 x-2 {{v}^{2}}+3 v+12)( 3 x+{{v}^{2}}-6)( 3 x+{{v}^{2}}-3 v-6) }{27} \]
　　solve(fxgv,x);
　　\[\left[ x=-\frac{{{v}^{2}}-3 v-6}{3},x=-\frac{{{v}^{2}}-6}{3},x=\frac{2 {{v}^{2}}-3 v-12}{3}\right] \]

上記の　"factor(fx,gv)"　が、maximaの命令で「　"fx"　を　"gv"　が生成する代数体上で因数分解せよ」と言う命令です。出力結果　"fxgv"　は、式(40)と一致しております。
又、"solve(fxgv,x)"　は、「xの方程式"　fxgv=0　"を解きなさい」というmaximaの命令でリスト形式で、出力結果が出てきます。これを見ると答えの順番は違いますが、式(36)と一致しております。
以上の様に、計算ソフトはいとも簡単に因数分解します。便利です。

Homeに戻る　　　

APX1-2 元吉論文のアルゴリズムでの \(f(x)\) の因数分解計算 （続き）

APX1-2　元吉論文のアルゴリズムでの \(f(x)\) の因数分解計算　（続き）