APX3 巡回多項式と円分方程式 \(\Phi_{17}(x)\)
[4] 円分方程式 \(\Phi_{17}(x)=0\) の解法
組成列が決まったのでいよいよ可ロア理論を使った\(g_0(x)\)の拡大体での因数分解計算をしてゆきます。全体の流れを見てみます。
【step0】
体の拡大系列
\(\{F_0,F_1,F_2,F_3,F_4\}\)
に対応する
群の組成列
\(\{C_{16},C_8,C_4,C_2,e\}\)
【step1】
\([F_1,C_8]\)の節の所で黄色を分割する。
緑色の部分 \(Gal(F_1/F_0)=C_{16}/C_8\)
\(F_1/F_0\)は2次巡回拡大
【step2】
\([F_2,C_4]\)の節の所で黄色を分割する。
緑色の部分 \(Gal(F_2/F_1)=C_{8}/C_4\)
\(F_2/F_1\)は2次巡回拡大
【step3】
\([F_3,C_2]\)の節の所で黄色を分割する。
緑色の部分 \(Gal(F_3/F_2)=C_{4}/C_2\)
\(F_3/F_2\)は2次巡回拡大
【step4】
step3で分割された残り
実はそれ自体が巡回拡大であった！
緑色の部分 \(Gal(F_4/F_3)=C_{2}\)
\(F_4/F_3\)は2次巡回拡大
【summary】
step0の黄色の系列を、最終的には
4つの巡回拡大に分割した。
[5] 円分多項式 \(\Phi_{17}\) : 最小多項式 \(g_0(x)\rightarrow g_1(x)\) の計算
【例題1,2,3,4】と同様に下の計算の手順に沿って計算してゆけば、\(g_1(x)\)は簡単に計算できます。\begin{align} \setCounter{23} & h_0=\prod_{\mu_i \in \ C_8}\mu_i(x-v)=(x-v_1)(x-v_2)...(x-v_{15})(x-v_{16}) \\ & h_1=\prod_{\mu_i \in \ (C_{16}-C_8)}\mu_i(x-v)=(x-v_3)(x-v_5)...(x-v_{12})(x-v_{14}) \\ \notag \\ & \begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \end{bmatrix} \qquad ( \ Lagrange \ resolvent \ )\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} t_0 \ \in \ F_0[x] \\ t_1 \ \in \ F_0(v)[x] \end{array} \right. \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} B_1=a_1^2-A_1=0 \quad A_1 \in F_0 \\ \tilde{t_1} \ \in \ F_1[x]=F_0(a_1)[x] \end{array} \right. \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_0(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \\ g_1(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_1[x] \end{array} \right. \\ \notag \\ & g_0(v)=0 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_1(v)=0\\ B_1=0 \end{array} \right. \\ \end{align}
式(24)(25)の \(\{h_0,h_1\}\) の \(v_i\) に式(18)の \(v\) の多項式表現を代入して計算すると 以下のようになる。但し以降は \( (mod \ g_0(v)\ )\) で計算しなければなりません。
\begin{align} h_0&=(x-v_1)(x-v_2)(x-v_4)(x-v_8)(x-v_9)(x-v_{13})(x-v_{15})(x-v_{16}) \notag \\ &=x^8+(v^{14}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^7+v^6+v^5+v^3+1)x^7+ .... \notag \\ &\quad +(v^{14}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^7+v^6+v^5+v^3+1)x+1 \\ h_1&=(x-v_3)(x-v_5)(x-v_6)(x-v_7)(x-v_{10})(x-v_{11})(x-v_{12})(x-v_{14}) \notag \\ &=x^8-(v^{14}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^7+v^6+v^5+v^3)x^7+ ....\notag \\ &\quad -(v^{14}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^7+v^6+v^5+v^3)x+1 \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} t_0&=\frac{1}{2}(2x^8+x^7+5x^6+7x^5+4x^4+7x^3+5x^2+x+2) \ \in \ F_0[x]\\ t_1&= (v^{14}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^7+v^6+v^5+v^3+\frac{1}{2})\notag \\ & \times x(x+1)^2(x^2+1)(x^2-x+1) \ \in \ F_0(v)[x] \\ \end{align}
その為に先ず、\(t_1\) の最高次の係数を、式(34)の様に \(a_1\) とします。そして、\(a_1^2\) を計算してみると、 式(35)の様に \(F_0\) の数値となります。これを \(A_1\) と置きます。\(A_1\) を使って、\(a_1\) の満たすべき 2項方程式 \([ \ B_1=0 \ ]\) が定義できます。\(a_1\) は式(36)の様に2項方程式の冪根として定義できるので、 \(a_1\) を基礎体 \(F_0\) に添加する事により、拡大体 \(F_1\) を構成できることになります。
\begin{align} a_1&=v^{14}+v^{12}+v^{11}+v^{10}+v^7+v^6+v^5+v^3+\frac{1}{2} \\ \notag \\ a_1^2&=\frac{17}{4} \equiv A_1 \ \in \ F_0 \\ &\quad \rightarrow \quad B_1=a_1^2-A_1=0 \quad a_1=\sqrt{A_1} \ \in \ F_1 \equiv F_0(a_1)\\ \end{align}
\begin{align} \tilde{t_1} &\equiv a_1x(x+1)^2(x^2+1)(x^2-x+1) \ \in \ F_1[x]\\ \end{align}
次ページに続く
【参考文献、参考サイト】
・「ガロアを読む」 倉田令二朗著 §12 「巡回方程式とアーベル方程式」
・Period-Mathematics氏 「解の巡回」にとどめを刺す！～ガロア理論による背景の完全解明～
https://period-mathematics.hatenablog.com/entry/2019/05/03/181220
・Period-Mathematics氏 巡回多項式を代数的に解く
https://period-mathematics.hatenablog.com/entry/2019/05/04/194452
・「解の巡回」- 私的数学塾 （非常に詳しい説明です）
http://shochandas.xsrv.jp/solution/solution3.htm
岩波数学辞典(1969年)の「ガロア理論」の説明の中に、上記に関連する説明が10行ほど記述されております。そこには、
「Abel方程式」、「巡回方程式」、「Galois方程式」と言う言葉が出てきます。多分、それぞれ微妙に
違うと思うのですが、私には、その違いを上手く説明できません。済みません。