APX5 \(x^3-2=0, \ x^5-3=0\) に関して
APX5-1 方程式 \(x^3-2=0\) の \(V(x)\) の計算の続き
【step3】 \([ \ S_3/A_3 \ \rhd \ e \ ]\) 2次の冪根拡大の計算
剰余群\(S_3/A_3\)は2次の巡回群となり、以下の様になります。\begin{align} \setCounter{14} S_3/A_3=\Bigl[ \ \{\sigma_1,\sigma_4,\sigma_5\}, \quad \{\sigma_2,\sigma_3,\sigma_6\} \ \Bigr] \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} h_0=( x-v_1)( x-v_4)( x-v_5)=x^3-v^3\\ h_1=( x-v_2)( x-v_3)( x-v_6)=x^3+v^3\\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \\ \end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^3\\ -v^3 \end{bmatrix} \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} t_1^2=v^6=-108 \quad ( \ mod \ g_0(v) \ ) \quad \rightarrow \quad A_1 \equiv -108\\ B_1 \equiv a_1^2-A_1=0 \quad \tilde{t_1} \equiv a_1 \quad \ a_1=\sqrt{A_1} \ \in F_1 \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^3+a_1\\ x^3-a_1\\ \end{bmatrix} \\ \notag \\ &\therefore \quad g_1(x)=\tilde{h_0}=t_0+ \tilde{t_1}=x^3+a_1 \ \in F_1[x] \\ \end{align}
【step4】 \([ \ A_3 \ \rhd \ e \ ]\) 3次の冪根拡大の計算
予め基礎体に1の原始3乗根 \(\omega\) を添加してありますので、式(22)は定義できます。\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} h_0=(x-v_1)=x-v\\ h_1=(x-v_4)=x+\frac{1}{12}(6-a_1)v\\ h_2=(x-v_5)=x+\frac{1}{12}(6+a_1)v \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \\ t_2 \end{bmatrix} =\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&\omega&\omega^2\\ 1&(\omega^2)&(\omega^2)^2\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \\ h_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\ -\frac{2 {a_1} v \omega +\left( {a_1}+18\right) v}{36} \\ \frac{2 {a_1} v \omega +\left( {a_1}-18\right) v}{36} \\ \end{bmatrix} \\ &\qquad \Omega=\omega^2+\omega+1=0 \\ \end{align}
\(\{\ t_1^3, \ t_2^3, \ t_1 \cdot t_2 \ \}\) は、【例題1】と同様に、拡大体 \(F_1=F_0(a_1)\) の数となるはずです。 計算結果は、式(24)(25)となります。計算過程では、掛け算の後は \([ \ g_1(v) \rightarrow \Omega \ ]\) の順で剰余を取る必要があります。
\begin{align} & t_1^3=-6 \omega +\frac{a_1}{2}-3 \ \in F_1 \qquad t_2^3=6 \omega +\frac{a_1}{2}+3 \ \in F_1 \\ &\bbox[#FFFF00]{ t_1 \cdot t_2=0 }\\ \end{align}
【step5】 \(t_1=0 \ or \ t_2=0\) さあ、どうするか？
仮に \(t_1=0\) として最後まで計算を続行します。\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} t_0=x\\ t_1=\tilde{t_1}=0 \\ t_2^3=6 \omega +\frac{a_1}{2}+3 \equiv A_2 \ \in F_1 \\ B_2=a_2^3-A_2=0 \qquad \tilde{t_2} \equiv a_2 \quad a_2=\sqrt[3]{A_2} \ \in F_2 \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1} \\ \tilde{h_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1& \omega^2 & (\omega^2)^2\\ 1& \omega & \omega^2\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \\ \tilde{t_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+a_2\\ x+\omega a_2\\ x+\omega^2 a_2\\ \end{bmatrix} \\ \notag \\ &\therefore \quad g_2(x)= \tilde{h_0}=x+a_2 \ \in F_2[x] \quad \rightarrow \quad v=-a_2\\ \end{align}
漸く1次の最小多項式 \(g_2(x)\) を求める事が出来、式(28)の様に \(v\) の値が決定しました。
この値を式(12)の\(v\)に代入すれば \(f(x)\) の3根を求める事が出来ます。
計算過程では、\([ \ (mod \ B_2) \rightarrow (mod \ B_1) \rightarrow (mod \ \Omega) \ ]\) の 順で剰余を取る必要があります。
\begin{align} &\Bigl[ \quad -\frac{a_2}{72}(12\omega +a_1-30), \quad \frac{a_2}{36}(12\omega +a_1+6), \quad -\frac{a_2}{72}(12 \omega +a_1+42) \quad \Bigr]\\ \notag \\ &\Omega={{\omega }^{2}}+\omega +1 \qquad B_1=a_1^2+108=0 \qquad B_2={{a}_{2}^{3}}-\frac{\bbox[#FFFF00]{ 12 \omega +a_1+6}}{2}\\ \end{align}
先ず \(\{\omega,a_1\}\) の取りうる値を代数計算ソフトmaximaの"allroots(f);"という命令で計算してみます。
fに \(\{\Omega,B_1\}\) を入れ計算すると、以下式(31)の数値が求められます。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &\omega_1 =0.8660254037844386 \% i-0.5 & &\omega_2 =-0.8660254037844386 \% i-0.5 \\ &a_{11}=10.39230484541326 \% i & &a_{12}=-10.39230484541326 \% i \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} case1\quad \{\omega_1,a_{11}\}, \quad \{\omega_2,a_{12}\} \Rightarrow \ a_2=1.091123635971721\%i+1.88988157484231 \\ case2 \quad \{\omega_2,a_{11}\}, \quad \{\omega_1,a_{12}\} \ \Rightarrow \ \bbox[#FFFF00]{ a_2=0 }\\ \end{array} \right. \\ \end{align}
勿論 \(a_2\) の値が正しいcase1の場合は、式(29)の3根も正しい値となります。ただ 計算のアルゴリズム的に、この不確定性をどの様に取り除くか？が問題となっております。
さてどうするか？ ここからが本題です。 次ページに続く
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