APX5 \(x^3-2=0, \ x^5-3=0\) に関して
APX5-3 方程式 \(V(x)\) は基礎体 \(F_0=Q(\omega)\) では既約か？
\(V(x)\) は基礎体 \(F_0\) で既約なのか？という疑問がおこり、代数計算ソフトmaximaで因数分解をしてみました。 例の代数体上での因数分解命令 \(facore(p,q)\) を活用します。\begin{align} \setCounter{32} &factor(V(x),\Omega); \quad \rightarrow \quad V(x)=(x^3-6-12\omega)(x^3+6+12\omega) \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ &\therefore \quad g_0(x)=x^3-6-12\omega \qquad g_0(x): \ minimal \ polynomial \ of \ v \\ \end{align}
式(33)より \(V(x)\) は、基礎体 \(F_0=Q(\omega)\) では既約多項式でない事が判りました。
そこで \(v\) の最小多項式 \(g_0(x)\) を、因数分解された\(V(x)\)の第1項とします。
APX5-4 最小多項式 \( \quad g_0(x)=x^3-6-12\omega \ \in \ F_0[x] \quad \) での計算
式(34)で新たな最小多項式 \(g_0(x)\) が定義されました。そこで先ず \(f(x)\) の根 \(\{\alpha,\beta,\gamma\}\) と、\(v\) の共役根を 求めてみます。本来は新たな最小多項式 \(g_0(v)\) で生成される代数体 \(F_0(v)\) 上で \(f(x)\) を因数分解するところから 始めなければならないのですが、今回は、先に求めた式(12)(13)を利用する事にします。
即ち \(V(x)\) を最小多項式として計算された式(12)の \(\{\alpha,\beta,\gamma\}\) 及び式(13)の \(v_i\) を、 新たな最小多項式 \(g_0(v)\) で剰余する事で簡単に計算する事にします。 先ず、\(f(x)\)の3根は以下の通りとなります。
\begin{align} \Biggl[\quad \alpha=-\frac{v(\omega+2)}{3} \quad \beta=\frac{v(2\omega+1)}{3} \quad \gamma=\frac{v(1-\omega)}{3} \quad \Biggr]\\ \end{align}
その結果は式(37)に示す様に \(\{v_1,v_4,v_5\}\) が \(g_0(x)=0\) の根となる事が判りました。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1 (v)={v_1}=v &\sigma_2 (v)={v_2}=v \omega +v &\sigma_3 (v)={v_3}=-v \omega \\ \sigma_4 (v)={v_4}=-v \omega -v &\sigma_5 (v)={v_5}= v \omega &\sigma_6 (v)={v_6}=-v \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &ex. \quad g_0(v_2)=(v\omega+v)^3-12\omega-6 \notag \\ &=v^3(1+\omega)^3-12\omega-6=-24\omega-12 \quad ( \ mod \ g_0(v) \ ) \ ( \ mod \ \Omega \ ) \notag \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \bbox[#FFFF00]{ g_0(v_1)=g_0(v_4)=g_0(v_5)=0 } \\ g_0(v_2)=g_0(v_3)=g_0(v_5)=-24\omega-12\\ \end{array} \right. \\ \end{align}
APX5-5 \(F_1/F_0\)の計算：最小多項式\(g_1(x)\) を求める
式(37)に示す様に、\(g_0(x)\)の共役根は \(\{v_1,v_4,v_5\}\) である事が判りました。 従って、\(f(x)\) のガロア群は \(A_3\) であり、組成列は \([ \ A_3 \ \rhd \ e \ ]\) となり可解です。これからの計算は、基礎体 \(F_0\) に新たな添加数 \(a_1\) を導入して、拡大体 \(F_1\) を構成する過程 となります。
その計算の概念図を【Fig.1】に示します。体の拡大計算は緑の部分になります。
ただただ、イメージを共有していただきたいと
思い、敢えて絵にしてみました。
この絵で言いたい事は以下の3つです。
(1) 【例題1】では \(V(x)=g_0(x)\) となる
\(f(x)\) のガロア群は \(S_3\)
(2)【例題2】では \(V(x) \neq g_0(x)\) となる
\(f(x)\) のガロア群は \(A_3\)
(3)但し、
【例題2】の \(V(x)\) は体 \(Q\) で可約。ガロア群は \(A_3\)
【補足5】の \(V(x)\) は体 \(Q\) では既約。ガロア群は \(S_3\)
のはず。しかし、基礎体 \(F_0=Q(\omega)\) では可約。
すると、ガロア群は \(A_3\) となってしまう。
大丈夫かな？、、、大丈夫です。
計算手順は以下の通りでOKです。
\begin{align} &h_0=(x-v_1), \quad h_1=(x-v_4), \quad h_2=(x-v_5) \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \\ t_2 \end{bmatrix} =\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&\omega&\omega^2\\ 1&(\omega^2)&(\omega^2)^2\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \\ h_2 \end{bmatrix} \quad \begin{array}{l} ( \ Lagrange \ resolvent \ )\\ \\ \quad \bbox[#00FFFF]{ \Omega=\omega^2+\omega+1=0 } \end{array} \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} t_0 \ \in \ F_0[x] \\ \{t_1,t_2\} \ \in \ F_0(v)[x] \end{array} \right. \ \Longrightarrow \ \left\{ \begin{array}{l} B_1=a_1^3-A_1=0 \quad A_1 \in F_0 \\ \{\tilde{t_1},\tilde{t_2} \} \ \in \ F_1[x]=F_0(a_1)[x] \end{array} \right. \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1} \\ \tilde{h_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&\omega^2&(\omega^2)^2\\ 1&\omega&(\omega^2)\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \\ \tilde{t_2} \end{bmatrix} \ \Longrightarrow \ \left\{ \begin{array}{l} g_0(x)=\tilde{h_0}\cdot \tilde{h_1} \cdot \tilde{h_2} \\ g_1(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_1[x] \end{array} \right. \\ \notag \\ & g_0(x)=0 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_1(x)=0\\ B_1=0 \end{array} \right. \\ \end{align}
上記手順に従って計算してゆきます。式(38)の \(\{h_0,h_1,h_2\}\) に式(36)を代入します。 得られた \(\{h_0,h_1,h_2\}\) を式(39)に代入して \(\{t_0,t_1,t_2\}\) を計算すると 以下の様になります。
\begin{align} &h_0=x-v, \quad h_1=x+v\omega+v, \quad h_2=x-v\omega \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \\ t_2 \end{bmatrix} =\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&\omega&\omega^2\\ 1&\omega^2&\omega \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1\\ h_2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ -v\\ 0 \end{bmatrix} \\ \end{align}
面白い事に \([ \ t_2=0 \ ]\)となっている事が判ります。
次ページに続く
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