APX5 \(x^3-2=0, \ x^5-3=0\) に関して
更に計算を続けます。\(t_1^3\)を計算して、新たな添加数\(a_1\)を導入します。\begin{align} \setCounter{44} &t_1^3=-v^3=-12\omega-6 \equiv A_1 \quad \in \ F_0 \\ \notag \\ &\therefore \quad B_1 \equiv a_1^3-A_1=0 \qquad \tilde{t_1}=a_1 \equiv \sqrt[3]{A_1} \ \in F_0(a_1)=F_1\\ &\therefore \quad t_0=x \quad \tilde{t_1}=a_1 \quad t_2=0\\ \end{align}
式(46)が、ガロア群 \(A_3\) の3次巡回群から導かれる2項方程式です。\([ \ B_1=0 \ ]\) の解 \(a_1\) が、 新たに導入される添加数となり、拡大体 \(F_1\) を生成します。従って \(t_1\) は \(F_1\) の元となるため 敢えて \(\tilde{t_1}\) と記述する事にします。この辺は【例題1,2,3,4】共通の考え方です。
式(47)を式(41)に代入して \( \tilde{h_0}\)を計算します。\( \tilde{h_0}\) はとりもなおさず、 拡大体 \(F_1\) における \(v\) の最小多項式 \(g_1(x)\) そのものです。従って \([ \ g_1(x)=0 \ ]\) の解が、 最終的に求める \(v\) の値となり、それを式(35)に代入すると \(f(x)\) の解が求めれれます。
\begin{align} &\tilde{h_0}=t_1+\tilde{t_1}+t_2=x+a_1+0=x+a_1 \equiv g_1(x) \\ &g_1(x)=0 \quad \longrightarrow \quad v=-a_1\\ \notag \\ &\qquad \Downarrow \quad (mod \ g_0(v))\ \rightarrow \ (mod \ \Omega )\notag \\ \notag \\ & \Biggl[\quad \alpha=\frac{a_1(\omega +2)}{3}, \quad \beta=-\frac{{a_1}(2\omega +1)}{3}, \quad \gamma=\frac{{a_1} (\omega -1)}{3} \quad \Biggr]\\ \end{align}
特に問題なく \(f(x)\) の3根が求まりました。念の為に数値計算で検証しておきます。
先ず \(\omega\) を求めます。式(30)の \([ \ \Omega=0 \ ]\) をmaximaで数値的に解くと以下の2根の値になります。
\begin{align} \omega_1 =0.8660254037844386 \% i-0.5 & &\omega_2 =-0.8660254037844386 \% i-0.5 \notag \\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} a_{11}=2.182247271943443 \% i-1.033975765691284 \times {{10}^{-25}}\\ a_{12}=-1.091123635971721 \% i-1.88988157484231\\ a_{13}=1.88988157484231-1.091123635971721 \% i \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \alpha=-1.091123635971721 \% i-0.6299605249474365 \\ \beta=1.091123635971721 \% i-0.6299605249474365\\ \gamma=1.259921049894873+7.401486830834376\times {{10}^{-17}} \% i\\ \end{array} \right. \\ \end{align}
直接\([ \ f(x)=x^3-2=0 \ ]\)をmaximaで直接数値的に解くと以下の値になります。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} x_1=1.259921049894873 \\ x_2=1.091123635971721 \% i-0.6299605249474366\\ x_3=-1.091123635971721 \% i-0.6299605249474366 \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
式(52)(53)を比べると、最終的に求めた式(50)が正しい事が判ります。 結論として、
方程式 \([ \ x^3-2=0 \ ]\) の場合、 \(V(x)\) は基礎体が有理数体 \(Q\) なら既約であるが、
基礎体 \(F_0=Q(\omega)\) では既約でないので、\(v\) の最小多項式としては不適格である。
従って、基礎体 \(F_0\) で因数分解された一つの因子を新たな最小多項式 \(g_0(x)\) として採用すべきではないか。
そうすれば、従来の計算アルゴリズムは何ら問題なく最終結論を導き出す。
この考えに基づくと、【例題1,2,3,4】で使用した最小多項式は、\(\{\omega,\zeta\}\) 等を予め添加していた 基礎体\(F_0\) で既約なのかどうか検証する必要があります。maximaでチェックしたら、既約でしたので 【例題1,2,3,4】の計算は、全く問題ないという事が判りました。
次頁で、同じ現象が起きる方程式を見てみます。やはり \(V(x)\) を基礎体 \(F_0\) で因数分解する必要があります。
次ページに続く
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