APX5 \(x^3-2=0, \ x^5-3=0\) に関して
APX5-6 方程式 \(x^5-3=0\) の \(V(x)\) の計算
前節で起きた現象が \([ \ f(x)=x^5-3=0 \ ]\) の場合には、更に顕著に現れます。\(f(x)\) の5根を、\(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma, \ \delta, \ \epsilon \ \}\) とします。
この場合も、\(V(x)\)は、有理数体 \(Q\) 上で既約多項式なので、原始元 \(v\) の最小多項式と考えられますが、 本来の基礎体 \(F_0=Q(\zeta)\) 上では、更に因数分解できることがわかります。
（但し \(\zeta\) は1の原始5乗根、【補足2】を参照の事）
以下、\(V(x)\) の因数分解の計算や、\(f(x)\) の根がどの様に表現されるか？を見てゆきます。
従来方法で、原始根 \(v\) が満たすべき \(V(x)\) の計算をします。計算手順は【例題2】を参考にしてください。
\begin{align} \setCounter{0} f(x)&=x^5-3=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)(x-\epsilon)\\ v&=\alpha+2 \cdot \beta+3 \cdot \gamma+4 \cdot \delta +5 \cdot \epsilon \\ \notag \\ f(x)&=(x-\alpha)(x^4+\alpha^4+x\alpha^3+x^2\alpha^2+x^3\alpha)+(\alpha^5-3) \notag \\ &=(x-\alpha)q_1(x)+r_1\\ \notag \\ q_1(x)&=(x-\beta)(x^3+\beta^3+x(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2)+\alpha\beta^2+x^2(\beta+\alpha)+\alpha^2\beta+\alpha^3) \notag \\ &+(\beta^4+\alpha\beta^3+\alpha^2\beta^2+\alpha^3\beta+\alpha^4) \notag \\ &=(x-\beta)q_2(x)+r_2\\ \notag \\ q_2(x)&=(x-\gamma)(x^2+\gamma^2+x(\gamma+\beta+\alpha)+(\beta+\alpha)\gamma+\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2)\notag \\ &+(\gamma^3+(\beta+\alpha)\gamma^2+(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2)\gamma+\beta^3+\alpha\beta^2+\alpha^2\beta+\alpha^3) \notag \\ &=(x-\gamma)q_3(x)+r_3\\ \notag \\ q_3(x)&=(x-\delta)(x+\delta+\gamma+\beta+\alpha)+\delta^2+(\gamma+\beta+\alpha)\delta+\gamma^2 \notag \\ &+(\beta+\alpha)\gamma+\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2 \notag \\ &=(x-\delta)q_4(x)+r_4\\ \notag \\ q_4(x)&=(x-\epsilon) \cdot 1 +\epsilon+\delta+\gamma+\beta+\alpha \notag \\ &=(x-\epsilon)q_5(x)+r_5 \\ \end{align}
\begin{align} &f(\alpha)=0, \quad q_1(\beta)=0, \quad q_2(\gamma)=0, \quad q_3(\delta)=0, \quad q_4(\epsilon)=0, \quad eq(2)\\ &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} r_1&=\alpha^5-3=0 \\ r_2&=\beta^4+\alpha\beta^3+\alpha^2\beta^2+\alpha^3\beta+\alpha^4=0 \\ r_3&=\gamma^3+(\beta+\alpha)\gamma^2+(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2)\gamma+\beta^3+\alpha\beta^2+\alpha^2\beta+\alpha^3=0\\ r_4&=\delta^2+(\gamma+\beta+\alpha)\delta+\gamma^2+(\beta+\alpha)\gamma+\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2=0\\ r_5&=\epsilon+\delta+\gamma+\beta+\alpha=0\\ r_6&=v-(\alpha+2 \cdot \beta+3 \cdot \gamma+4 \cdot \delta +5 \cdot \epsilon)=0\\ \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} &s_1:resultant(r_6,r_5,\epsilon); \quad s_1= -\delta-2\gamma-3\beta-4\alpha-v \notag \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_2:resultant(s_1,r_4,\delta); \notag \\ &\qquad s_2=3\gamma^2+(8β+11\alpha+3v)\gamma+7β^2+(18\alpha+5v)β+13\alpha^2+7v\alpha+v^2 \notag \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_3:resultant(s_2,r_3,\gamma); \quad s_3=0 \quad（長いので省略） \notag \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &S_4:resultant(s_3,r_2,\beta); \quad s_4=0 \quad（長いので省略） \notag \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_5:resultant(s_4,r_1,\alpha); \quad s_5=0 \quad（長いので省略）\notag \\ \end{align}
ここで、 \(s_5\) は \(v\) の120次の多項式となりますが、変数 \(v\) を \(x\) に書き換えて、改めて \(V(x)\) と表記します。
その理由は、\(V(x)\) と言う文字は【例題1,2,3,4】で \(v\) の最小多項式の候補として使用してきたからです。
\(V(x)\) が最小多項式になるかどうかの判断基準は、\(V(x)\) が既約多項式かどうかに依存します。
そこで、代数計算ソフトmaximaを使って \(V(x)\) を因数分解すると、以下の様に、6個の次数20次の多項式に 因数分解できることが判ります。
\begin{align} V(x)&=x^{120}+27843750x^{110}-3422583389671875x^{100}+....\\ \notag \\ &=(x^{20}+17578125x^{10}+2471923828125) \times (x^{20}+84403125x^{10}+253125)\notag \\ &\times (x^{20}-13500x^{15}+53184375x^{10}-2209781250x^{5}+40766034375)\notag \\ &\times (x^{20}+13500x^{15}+53184375x^{10}+2209781250x^{5}+40766034375)\notag \\ &\times (x^{20}-4500x^{15}+10996875x^{10}-13352343750x^{5}+7246753846875)\notag \\ &\times (x^{20}+4500x^{15}+10996875x^{10}+13352343750x^{5}+7246753846875) \\ \end{align}
\begin{align} G(x)&=x^{20}+84403125x^{10}+253125\\ \end{align}
APX5-7 \(G(x)=x^{20}+84403125x^{10}+253125\) の既約性
さて式(12)で定義された \(G(x)\) は、通常では \(v\) の最小多項式とされます。次数が20次なので、ガロア群は 位数20の Frobeniusu群 \(F_{20}\) と呼ばれる群となります。それでは前節の \([ \ x^3-2=0 \ ]\) と同様に、 このガロア群 \(F_{20}\) の同型写像を求めてゆきます。[step1] \(f(x)\) の根を \(v\) で表現する為に、\(f(x)\) を \(G(v)\) で生成される代数体上で因数分解します。
\begin{align} factor&(f(x),G(v)) \notag \\ &=\frac{1}{29387235057699395634222299784535217285156250000} \notag \\ &\times (257360625x+124v^{16}+10465993125v^6) \notag \\ &\times (1887311250x+281v^{16}-50v^{11}+23717244750v^6-3997389375v) \notag \\ &\times (1887311250x+281v^{16}+50v^{11}+23717244750v^6+3997389375v) \notag \\ &\times (5661933750x-2207v^{16}-75v^{11}-186277658625v^6-7411567500v)\notag \\ &\times (5661933750x-2207v^{16}+75v^{11}-186277658625v^6+7411567500v) \\ \end{align}
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