APX2 1の冪乗根 \("\omega \quad and \quad \zeta_5"\) の計算
APX2-2 \("\zeta_5"\)の計算
[1] 円分方程式 \(\Phi_5(x)\)の設定
先ず、1の原始5乗根 \(\omega\) を決める円分方程式 \(\Phi_5(x)\) は、以下のように 式(1)となります。\begin{align} \setCounter{0} x^5-1=&(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) \notag \\ \therefore \ \Phi_5(x) \equiv & \ (x^4+x^3+x^2+x+1) \quad \in \ Q[x]\\ \end{align}
有理数体 \(Q\) 上の多項式 \(\Phi_5(x)\) の根を\(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}\) とします。
更にこの4根を使い原始元\(" \ \boldsymbol{v} \ "\)を式(3)の様に定義します。
\begin{align} &\Phi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)\\ &\qquad v \equiv 1 \cdot \alpha+2 \cdot \beta+3 \cdot \gamma+4 \cdot \delta \\ \end{align}
（注）： \(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta\} \) にかかっている係数 \([ \ 1,2,3,4 \ ]\) ですが、 異なった数の組み合わせなら殆どの場合構いません。
[2] 原始元 \(v\) の設定とその最小多項式 \(g_0(x)\)
以下に記述する最小多項式の計算方法は、井汲景太氏が提案された方法です。
計算手順は【例題2,3,4】と同じです。
\(\Phi_5(x)\)の因数\( (x-\alpha) \) などの4式を使って順次割ってゆきます。
\begin{align} &\Phi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=(x-\alpha)(x-\beta)(x \ -\gamma)(x \ -\delta) \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \Phi_5(x)=(x-\alpha)q_1(x)+r_1 \\ q_1(x)=x^3 +{{x}^{2}} \left( \alpha +1\right) +x \left( {{\alpha }^{2}}+\alpha +1\right)+{{\alpha }^{3}} +{{\alpha }^{2}} +\alpha +1\\ r_1= {{\alpha }^{4}}+{{\alpha }^{3}}+{{\alpha }^{2}}+\alpha +1 \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} q_1(x)=(x-\beta)q_2(x)+r_2 \\ q_2(x)=x\left( \beta +\alpha +1\right) + {{\beta }^{2}}+\left( \alpha +1\right) \beta +{{\alpha }^{2}}+\alpha +{{x}^{2}}+1 \\ r_2= {{\beta }^{3}}+\left( \alpha +1\right) {{\beta }^{2}}+\left( {{\alpha }^{2}}+\alpha +1\right) \beta +{{\alpha }^{3}}+{{\alpha }^{2}}+\alpha +1 \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} q_2(x)=(x-\gamma)q_3(x)+r_3 \\ q_3(x)=x+\gamma +\beta +\alpha +1 \\ r_3={{\gamma }^{2}}+\left( \beta +\alpha +1\right) \gamma +{{\beta }^{2}}+\left( \alpha +1\right) \beta +{{\alpha }^{2}}+\alpha +1 \end{array} \right.\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} q_3(x)=(x-\delta)q_4(x)+r_4 \\ q_4(x)=1 \\ r_4=\delta +\gamma +\beta +\alpha+1 \\ \end{array} \right.\\ \end{align}
上式より \(\{ \ \Phi_5(x), \ q_1(x), \ q_2(x), \ q_3(x) \ \}\) は それぞれ \(\{ \alpha,\beta,\gamma,\delta \}\)を 根に持つので、以下の式が成り立ちます。そして、式(3)の右辺を移項して\(r_5\) と定義します。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &f(\alpha)=0 \ \Rightarrow \ r_1=0 \quad &q_1(\beta)=0 \ \Rightarrow \ r_2=0 \\ &q_2(\gamma)=0 \ \Rightarrow \ r_3=0\quad &q_3(\delta)=0 \ \Rightarrow \ r_4=0 \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &eq.(3) \quad \Rightarrow \quad r_5=v-(\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta)=0\\ \end{align}
この様な場合、「終結式」を使う「消去法」と呼ばれる手法で、未知数を 少なくして問題の簡素化を図ります。 計算ソフトmaximaで計算した結果を下に示します。 最終的には \(v\) の次数24次の1変数多項式まで簡略化される事になります。 (resultant(x,y,z)をRes(x,y,z)で表しました)
\begin{align} &s_1:Res(r_5,r_4,\epsilon); \notag \\ &\qquad s_1=-\gamma -2 \beta -3 \alpha -v-4=0 \notag \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_2:Res(s_1,r_3,\delta); \notag \\ &\qquad s_2=3 {{\beta }^{2}}+\left( 8 \alpha +3 v+11\right) \beta +7 {{\alpha }^{2}}+\left( 5 v+18\right) \alpha +{{v}^{2}}+7 v+13=0\notag \\ & \qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_3:Res(s_2,r_2,\gamma); \notag \\ & \qquad s_3=160 {{\alpha }^{6}}+\left( 336 v+1080\right) {{\alpha }^{5}} +\left( 340 {{v}^{2}}+2120 v+3435\right) {{\alpha }^{4}} \notag \\ &\qquad+\left( 192 {{v}^{3}}+1780 {{v}^{2}}+5660 v +6210\right) {{\alpha }^{3}} +\left( 64 {{v}^{4}}+784 {{v}^{3}}+3705 {{v}^{2}}+7990 v+6660\right) {{\alpha }^{2}} \notag \\ &\qquad+\left( 12 {{v}^{5}}+182 {{v}^{4}} +1136 {{v}^{3}}+3640 {{v}^{2}}+5980 v+4050\right) \alpha \notag \\ &\qquad+{{v}^{6}}+18 {{v}^{5}}+139 {{v}^{4}}+588 {{v}^{3}}+ 1435 {{v}^{2}}+1914 v+1105=0\notag \\ &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &s_4:Res(s_3,r_1,\beta); \notag \\ &\qquad s_4=v^{24}+60v^{23}+1750v^{22}+33000v^{21}+451375*v^{20}+4762500v^{19}+40245500v^{18} \notag \\ &\qquad +279172500v^{17}+1616451375v^{16}+7902492500v^{15}+32870968750v^{14} \notag \\ &\qquad +116891875000v^{13}+356228214375v^{12}+930680025000v^{11}+2081251593750v^{10} \notag \\ &\qquad +3969884375000v^9+6421978618750v^8+8734627062500v^7+9860885718750v^6 \notag \\ &\qquad +9062910000000v^5+6584295800000v^4+3616278312500v^3+1404352500000v^2 \notag \\ &\qquad +348459375000v+45422265625=0 \\ \end{align}
従って原始元 \(v\) は式(11)を満足しなければならない事が判りました。式(9)(10)の5元連立方程式が 式(11)の\(v\)に関する24次の方程式に集約された形になります。 従って問題は、式(11)の \(v\) の値を求める事に専念すればよい事になります。そこで \(s_4\) の \(v\) の多項式を下式の様に関数表示 \(V(v)\) にします。 これは、【例題1,2,3,4】と文字をそろえるためで、以降 \(V(x)\) や \(g_0(x)\) の関数表示も同様です。 【例題2,3】と同様に、\(V(x)\) は可約多項式なので、今回は、因数分解された \(V(x)\) の色のついた一つの因子を 最小多項式 \(g_0(x)\) とします。
従って、最小多項式 \(g_0(x)\) は、式(16)が示す様に \(v\) が根となります。
\begin{align} V(v) \equiv & \ s_4 \notag \\ \notag \\ \therefore \ V(v)=& \ x^{24}+60x^{23}+1750v^{22}+...+348459375000v+45422265625=0 \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ V(x)=& \ x^{24}+60x^{23}+1750x^{22}+...+348459375000x+45422265625 \\ =&\left( {{x}^{4}}+10 {{x}^{3}}+30 {{x}^{2}}+15 x+5\right) \, \left( {{x}^{4}}+10 {{x}^{3}}+30 {{x}^{2}}+35 x+55\right) \notag \\ \times &\left( {{x}^{4}}+10 {{x}^{3}}+45 {{x}^{2}}+80 x+55\right) \, \left( {{x}^{4}}+10 {{x}^{3}}+45 {{x}^{2}}+120 x+155\right) \notag \\ \times & \bbox[#FFFF00]{ \left( {{x}^{4}}+10 {{x}^{3}}+50 {{x}^{2}}+125 x+125\right) } \, \left( {{x}^{4}}+10 {{x}^{3}}+50 {{x}^{2}}+125 x+155\right) \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ g_0(x) \equiv & \ \bbox[#FFFF00]{x^4+10x^3+50x^2+125x+125} \quad minimal \ polynomial \ of \ v\\ &\qquad \Downarrow \notag \\ g_0(v)=& \ v^4+10v^3+50v^2+125v+125 =0 \\ \end{align}
次ページに続く
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