APX2-2 \("\zeta_5"\)の計算の続き
[3] \(\Phi_5(x)\) の \(Q(v)\) 上での因数分解
さて、次に前節の \(g_0(v)\) で定義される代数体 \(Q(v)\) で \(\Phi_5(x)\) を因数分解します。
計算手続き自体は【例題2】と全く同じです。結果は式(17)となります。
\begin{align} \setCounter{16} fgv: & factor(f(x),g_0(v)); \notag \\ \notag \\ fgv=& \frac{1}{390625}\left( 25 x-3 {{v}^{3}}-25 {{v}^{2}}-100 v-150\right) \, \left( 25 x-{{v}^{3}}-5 {{v}^{2}}-25 v-25\right) \notag \\ \times & \left( 25 x+{{v}^{3}}+10 {{v}^{2}}+50 v+100\right) \left( 25 x+3 {{v}^{3}}+20 {{v}^{2}}+75 v+100\right) \\ \notag \\ solve(fgv,x)&; \\ x_1= & -\frac{3 {{v}^{3}}+20 {{v}^{2}}+75 v+100}{25} \notag\\ x_2= & -\frac{{{v}^{3}}+10 {{v}^{2}}+50 v+100}{25} \notag\\ x_3= & \frac{{{v}^{3}}+5 {{v}^{2}}+25 v+25}{25}\\ x_4= & \frac{3 {{v}^{3}}+25 {{v}^{2}}+100 v+150}{25}\notag\\ \end{align}
【例題2,3】と同様に、方程式\([ \ fgv=0 \ ]\) を（手計算でも簡単ですが）式(18)の様に maxima の solve命令 で解くと、 式(17)の4根 \(\{x_1,x_2,x_3,x_4\}\) は式(19)の様になります。 ここで求めた4根は順不同ですが、\(f(x)\) の4根 \(\{ \ \alpha,\beta,\gamma,\delta \ \}\) に相当しております！
[4] \(\{x_1,x_2,x_3,x_4\}\) と \(\{ \ \alpha,\beta,\gamma,\delta \ \}\) の 対応を確定する計算
前節で \(\Phi_5(x)\) の4根 \(\{x_1,x_2,x_3,x_4\}\) を代数体 \(Q(v)\) の中で求める事が出来ましたが、
\(\{ \ \alpha,\beta,\gamma,\delta \ \}\) との対応が未だ取れておりません。対応仕方は \(4!=24\) 通りあります。
対応関係を求める準備として、対称群 \(S_4\) の記号を導入します。
\begin{align} \sigma_{11}=\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&4&1&3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha&\beta&\gamma&\delta \\ \beta&\delta&\alpha&\gamma \end{pmatrix} \equiv \ \bbox[#FFFF00]{ [2,4,1,3] }\\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} \sigma_{1}=&[1,2,3,4] & \sigma_{2}=&[1,2,4,3] & \sigma_{3}=&[1,3,2,4] & \sigma_{4}=&[1,3,4,2] \notag \\ \sigma_{5}=&[1,4,2,3] & \sigma_{6}=&[1,4,3,2] & \sigma_{7}=&[2,1,3,4] & \sigma_{8}=&[2,1,4,3] \notag \\ \sigma_{9}=&[2,3,1,4] & \sigma_{10}=&[2,3,4,1] & \sigma_{11}=&\bbox[#FFFF00]{[2,4,1,3]} & \sigma_{12}=&[2,4,3,1] \notag \\ \sigma_{13}=&[3,1,2,4] & \sigma_{14}=&[3,1,4,2] & \sigma_{15}=&[3,2,1,4] & \sigma_{16}=&[3,2,4,1] \notag \\ \sigma_{17}=&[3,4,1,2] & \sigma_{18}=&[3,4,2,1] & \sigma_{19}=&[4,1,2,3] & \sigma_{20}=&[4,1,3,2] \notag \\ \sigma_{21}=&[4,2,1,3] & \sigma_{22}=&[4,2,3,1] & \sigma_{23}=&[4,3,1,2] & \sigma_{24}=&[4,3,2,1] \notag \\ \end{align}
置換操作 \(\sigma_i\) の意味を簡単に説明します。 \(\sigma_i\) は上段の数字や文字の並びを下段の数字や文字の並びに変化させるという 操作を表しています。 従ってこの \(\sigma_i\) を使うと、式(21)で定義された \(w\) の中の \(x_j\) の \(" \ j \ "\) が、\(\sigma_i\)によって変化をうけると考えてください。式(20)では式の簡略化の為に、\(\sigma_{11}\) の下段の数値の並びだけを 表示した \([2,4,1,3]\) という記号を導入しました。 この様な \(\sigma_i\) による \(w\) に対する変換の結果は、式(22)の様になります。
\begin{align} &\qquad \qquad w \equiv x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4x_4 \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1 (w)=w_1=x_1+2x_2+3x_3+4x_4 \\ \sigma_2 (w)=w_2=x_1+2x_2+3x_4+4x_3 \\ \quad ...... \\ \bbox[#FFFF00]{ \sigma_{11} (w)=w_{11}=x_2+2x_4+3x_1+4x_3 } \\ \quad ...... \\ \sigma_{24} (w)=w_{24}=x_4+2x_3+3x_2+4x_1 \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} w_1= 2v^3/5+3v^2+12 v+15\\ \qquad ....... \\ \bbox[#FFFF00]{w_{11}= v } \\ \qquad ....... \\ w_{24}=-2v^3/5-3v^2-12 v-20 \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} &\alpha=-\frac{{{v}^{3}}+10 {{v}^{2}}+50 v+100}{25} & &\beta=\frac{3 {{v}^{3}}+25 {{v}^{2}}+100 v+150}{25} \\ &\gamma= -\frac{3 {{v}^{3}}+20 {{v}^{2}}+75 v+100}{25} & &\delta=\frac{{{v}^{3}}+5 {{v}^{2}}+25 v+25}{25} \notag \\ \end{align}
式(24)で4根が \(v\) の多項式で表現できたので、「最小多項式 \(g_0(x)=0\) の根」に関して考えてみます。
もともと、\(v\) は前節の式(9)(10)の多元連立方程式から得られた式(11)(12)を満足しています。 従って \(v\) は、式(13)で定義された \(V(x)\) の一つの根です。
更に \(V(x)\) は \(F_0\) 上の多項式ですから、根 \(v\) を定義している式(3)の \(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}\) に関して対称式でなければなりません。 即ち \(V(x)\) は \(S_4\) の全ての元の変換操作に対して不変でなければなりません。
この要請から \(V(x)\) を、以下の式(25)で定義される \(\{v_1(=v),v_2,..,v_{24} \}\) を使って、 式(26)の様に\(V(x)\) を定義すれば、 \(V(x)\) は、\(S_4\) の変換に対して不変となる事が判ります。、
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1 (v)=v_1=\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta \\ \sigma_2 (v)=v_2=\alpha+2\beta+3\delta+4\gamma \\ \qquad .....\\ \sigma_{24} (v)=v_{24}= \delta+2\gamma+3\beta+4\alpha \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &V(x) =(x-v_1)(x-v_2)........(x-v_{24}) \\ \notag \\ &\sigma_i(V(x))=V(x) \quad [i=1,2,..,24] \quad ( \ S_4で不変 \ )\\ \end{align}
その為には、先ず式(24)の \(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta \}\) を、式(25)を代入して、各\(v_i\)を \(v\) の多項式表現にします。そして、それらを式(13)の \(V(x)\) に代入すると、式(28)の様に、 全てゼロとなり \(v_i\) 全てが \(V(x)\) の根である事が判ります。 従って、式(13)と式(26)の \(V(x)\) は互いに等価である事が判りました。
\begin{align} V(v_1)=V(v_2)=....=V(v_{23})=V(v_{24})=0\quad ( \ mod \ g_0(v) \ )\\ \end{align}
次ページに続く
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