APX2-2 \("\zeta_5"\)の計算の続き
[5] 最小多項式 \(g_0(x)\) の根
\(v\) の最小多項式 \(g_0(x)\) の根を考えます。
\(V(x)\) の根 \(\{ \ v_1,v_2,..,v_{24} \ \}\) の\(v\)の多項式表現式を \(g_0(x)\) に
代入した結果が式(29)です。\(v_2,v_3\) 等を\(g_0(x)\)に代入した計算例も示してあります。
計算の際、拡大体 \(Q(v)\) の中で計算するので \(( \ mod \ g_0(v)) \ \) を取る事に
注意する必要があります。代入結果がゼロになる\(v_i\) をピックアップしたのが式(30)です。
\begin{align} \setCounter{28} \left\{ \begin{array}{l} g_0(v_1)= 0 & &g_0(v_2)=-(16v^3+80v^2+250v+275)/5 & &g_0(v_3)=-30 \\ \qquad \qquad ....... \\ g_0(v_{22})=-30 & &g_0(v_{23})=(16v^3+160v^2+650v+975)/5 & &g_0(v_{24})=0 \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} & g_0(v_1)=g_0(v_{11})=g_0(v_{14})=g_0(v_{24})=0 \\ \end{align}
\begin{align} &\sigma_{1}(v)=v_1=v \notag \\ &\sigma_{11}(v)=v_{11}=-\frac{2 {{v}^{3}}}{5}-3 {{v}^{2}}-12 v-20 \\ &\sigma_{14}(v)=v_{14}=\frac{2 {{v}^{3}}}{5}+3 {{v}^{2}}+12 v+15 \notag \\ &\sigma_{24}(v)=v_{24}=-v-5 \notag \\ \notag \\ \end{align}
[6] \(Gal(Q(v)/Q) : \ Galois \ group \ of \ Q(v)/Q \)
\(Q(v)\) は ガロア拡大体と言う事が判ったので、体論より以下の事が言えます。
[1] ガロア拡大体\(Q(v)\)に対し、\(Q\)の元を不動にする \(\sigma_i(v)=v_i\) を満たす
\(Q\)上の自己同型写像 \(\{\sigma_{1}, \sigma_{11},\sigma_{14},\sigma_{24}\}\) が存在する。
[2] \(Q\)上の自己同型写像全体 \(\{\sigma_{1}, \sigma_{11},\sigma_{14},\sigma_{24}\}\) は群をなす。
それを \(Gal(Q(v)/Q)\) で表し 「 \(Q(v)/Q\) のガロア群である」と言う。
[3] \(n(=4)=Q(v)\)の拡大次数 \([Q(v):Q]=Gal(Q(v)/Q)\) の位数
[4] 拡大体 \(Q(v)\) は \(\Phi_5(x)\) の \(Q\) 上の最小分解体である。
この時 \(Gal(Q(v)/Q)\) は 「\(\Phi_5(x)\) の \(Q\) 上のガロア群である」とも言う。
上記四角枠の中の[1][2]で主張されている「\(Q\)上の自己同型写像全体 \(\{\sigma_{1}, \sigma_{11},\sigma_{14},\sigma_{24}\}\) が存在し、群をなす。」とは、具体的にはどの様なものなのか？
結論は、「自己同型写像全体 \(\{\sigma_{1}, \sigma_{11},\sigma_{14},\sigma_{24}\} =\) 巡回群 \(C_4\) 」です。
以下で実際に自己同型写像を見てみます。
式(20)で定義されている対称群 \(S_4\)の中から、上記4つの自己同型写像を抜き出したものを下に示します。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &\sigma_{1}=\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 1&2&3&4 \end{pmatrix} &\ &\sigma_{11}=\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&4&1&3 \end{pmatrix} \\ &\sigma_{14}=\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 3&1&4&2 \end{pmatrix} &\ &\sigma_{24}=\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 4&3&2&1 \end{pmatrix} \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
| \( i \backslash j \) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_{24}\) | \(\sigma_{11}\) | \(\sigma_{14}\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\sigma_1\) | \(\sigma_{1}\) | \(\sigma_{24}\) | \(\sigma_{11}\) | \(\sigma_{14}\) |
| \(\sigma_{24}\) | \(\sigma_{24}\) | \(\sigma_{1}\) | \(\sigma_{14}\) | \(\sigma_{11}\) |
| \(\sigma_{11}\) | \(\sigma_{11}\) | \(\sigma_{14}\) | \(\sigma_{24}\) | \(\sigma_{1}\) |
| \(\sigma_{14}\) | \(\sigma_{14}\) | \(\sigma_{11}\) | \(\sigma_{1}\) | \(\sigma_{24}\) |
【表apx2-4】より、\(\sigma_{11}\) を使うと以下が成り立ちます。
\( \quad \sigma_{11}^2=\sigma_{24}, \quad \sigma_{11}^3=\sigma_{14}, \quad \ \sigma_{11}^4=\sigma_{1} \)
従って、同型写像の全体は 4次の巡回群 \(C_4\) となります。
また、\(C_4\) の正規部分群が \(C_2=\{\sigma_{1},\sigma_{24}\}\) である事も
左の表から直ぐにわかります。
\begin{align*} &Gal(Q(v)/Q)=C_4 =\{\sigma_{1}, \sigma_{24},\sigma_{11},\sigma_{14}\} \ : \ Galois \ group \ of \ Q(v)/Q \\ \\ & C_4の正規部分群 C_2=\{\sigma_{1},\sigma_{24}\} \qquad \therefore \ ガロア群 C_4 の組成列: \quad C_4 \ \rhd \ C_2 \ \rhd \ \{e\}\\ \notag \\ &剰余群 \quad C_4/C_2=\{\rho_1,\rho_2\} \qquad \rho_1=\{\sigma_1,\sigma_{24}\}, \ \rho_2=\{\sigma_{11},\sigma_{14}\} \\ \end{align*}
| \( i \backslash j \) | \(\sigma_i(v_1)\) | \(\sigma_i(v_{24})\) | \(\sigma_i(v_{11})\) | \(\sigma_i(v_{14})\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\sigma_1\) | \(v_{1}\) | \(v_{24}\) | \(v_{11}\) | \(v_{14}\) |
| \(\sigma_{24}\) | \(v_{24}\) | \(v_{1}\) | \(v_{14}\) | \(v_{11}\) |
| \(\sigma_{11}\) | \(v_{11}\) | \(v_{14}\) | \(v_{24}\) | \(v_{1}\) |
| \(\sigma_{14}\) | \(v_{14}\) | \(v_{11}\) | \(v_{1}\) | \(v_{24}\) |
| \( i \backslash j \) | \(\sigma_i(\alpha)\) | \(\sigma_i(\beta)\) | \(\sigma_i(\gamma)\) | \(\sigma_i(\delta)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\sigma_1\) | \(\alpha\) | \(\beta\) | \(\gamma\) | \(\delta\) |
| \(\sigma_{24}\) | \(\delta\) | \(\gamma\) | \(\beta\) | \(\alpha\) |
| \(\sigma_{11}\) | \(\beta\) | \(\delta\) | \(\alpha\) | \(\gamma\) |
| \(\sigma_{14}\) | \(\gamma\) | \(\alpha\) | \(\delta\) | \(\beta\) |
【表apx2-6】は、巡回群 \(C_4\) による \(\Phi_5(x)\) の4根 \(\{\alpha,\beta,\gamma,\delta\}\) の置換操作の 結果です。
この表の作成の際の計算例 \(\sigma_{24}(\delta)\) を下に示します。式(24)の \(\delta\) の多項式表現と、式(31)の 写像変換規則を使って、計算します。勿論 \((\ mod \ g_0(v) \ )\) で剰余を取る必要があります。
\begin{align} \sigma_{24}(\delta)=&\sigma_{24}\left(\frac{v^3+5v^2+25v+25}{25}\right)=\frac{v_{24}^3+5v{24}^2+25v{24}+25}{25} \notag \\ =&\frac{(-v-5)^3+5(-v-5)^2+25(-v-5)+25}{25}=-\frac{v^3+10v^2+50v+100}{25}=\alpha\\ \end{align}
以上より、下記の事も確認できました。
\begin{align} Gal(Q(v)/Q)=C_4 =\{\sigma_{1}, \sigma_{24},\sigma_{11},\sigma_{14}\} \ : \ Galois \ group \ of \ \Phi_5(x) \notag \\ \end{align}
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