APX3 巡回多項式と円分方程式 \(\Phi_{17}(x)\)
[7] 円分多項式 \(\Phi_{17}\) : 最小多項式 \(g_2(x)\rightarrow g_3(x)\) の計算
前節と全く同様に\(g_3(x)\)を求めてゆきます。計算の流れは以下の通りです。\begin{align} \setCounter{60} & h_0=(x-v_1)(x-v_{16}) \\ & h_1=(x-v_4)(x-v_{13}) \\ \notag \\ & \begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \end{bmatrix} \qquad ( \ Lagrange \ resolvent \ )\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} t_0 \ \in \ F_2[x] \\ t_1 \ \in \ F_2(v)[x] \end{array} \right. \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} B_3=a_3^2-A_3=0 \quad A_3 \in F_2 \\ \tilde{t_1} \ \in \ F_3[x]=F_2(a_3)[x] \end{array} \right. \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_2(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \\ g_3(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_3[x] \end{array} \right. \\ \notag \\ & g_2(v)=0 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_3(v)=0\\ B_3=0 \end{array} \right. \\ \end{align}
[5][6]と同様に、式(61)(62)は以下の様になります。注意する事は、\(F_2[x]\) の要素の乗算の後は、必ず \( [ \ ( \ mod \ g_2(v) \ ) \rightarrow ( \ mod \ B_2) \rightarrow ( \ mod \ B_1) \ ] \) の順で剰余計算をする事です。
\begin{align} h_0&=(x-v_1)(x-v_{16}) \notag \\ &=x^2+\frac{1}{4}\biggl( 4v^3+(4a_2+2a_1+1)v^2+((2a_1-1)a_2 \notag \\ &\qquad \qquad +2a_1+3)v+4a_2+2a_1+1 \biggr)x+1 \\ h_1&=(x-v_4)(x-v_{13}) \notag \\ &=x^2-\frac{x}{4}\biggl(4v^3+(4a_2+2a_1+1)v^2+((2a_1-1)a_2+2a_1+3)v\biggr)+1 \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} t_0&=x^2+\frac{(4a_2+2a_1+1)x}{8}+1 \quad \in \ F_2[x]\\ t_1&=\frac{x}{8}\biggl( 8v^3+(8a_2+4a_1+2)v^2+((4a_1-2)a_2+4a_1+6)v \notag \\ &\qquad \qquad +4a_2+2a_1+1 \biggr) \quad \in \ F_2(v)[x] \\ \end{align}
\begin{align} a_3&=\frac{\biggl( 8v^3+(8a_2+4a_1+2)v^2+...+4a_2+2a_1+1 \biggr) }{8} \\ \notag \\ a_3^2&=-\frac{{a_1} \left( 4 {a_2}+6\right) -6 {a_2}-17}{16} \equiv A_3 \quad \in \ F_2 \\ \notag \\ B_3&\equiv a_3^2-A_3=0 \quad \rightarrow \quad a_3=\sqrt{A_3} \ \in \ F_3 \equiv F_2(a_3)\\ \notag \\ \tilde{t_1} &\equiv a_3 \cdot q_3=a_3 \cdot x \ \in \ F_3[x]\\ \end{align}
\(a_3^2\) を計算すると、式(72)からわかるように \(F_2\) の元となります。この値を \(A_3\) と定義し、 式(73)の様に \(a_3\) が満足すべき2項方程式 \(B_3=0\) を定義します。また、\(a_3\) を体 \(F_2\) に添加して、 巡回拡大体 \(F_3\) を定義します。あとは式(70)より簡単に、\(t_1\) を式(74)と定義できます。勿論 \(t_1\) は、\(F_4\) の 元なので、\(\tilde{t_1}\) とチルダを付ける意味は前節と同じです。 以上式(69)(76)で得られた \(\{t_0,\tilde{t_1}\}\) を、式(65)に代入し、\(\tilde{h_0}\) を拡大体 \(F_3\) 上の \(v\) の最小多項式 \(g_3(x)\) とします。
\begin{align} \tilde{h_0}&=\frac{1}{2}(t_0+\tilde{t_1}) \equiv g_3(x) \\ g_3(x)&=x^2+\biggl(a_3+\frac{a_2}{2}+\frac{a_1}{4}+\frac{1}{8}\biggr)x+1 \\ \notag \\ &g_3(x) : \ Minimal \ polynomial \ of \ v \quad \rightarrow \quad \therefore \ g_3(v)=0 \\ \end{align}
次ページに続く
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