APX3 巡回多項式と円分方程式 \(\Phi_{17}(x)\)
[8] 円分多項式 \(\Phi_{17}\) : 最小多項式 \(g_3(x)\rightarrow g_4(x)\) の計算
前節と全く同様に\(g_4(x)\)を求めてゆきます。計算の流れは以下の通りです。\begin{align} \setCounter{77} & h_0=(x-v_1) \\ & h_1=(x-v_{16}) \\ \notag \\ & \begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \end{bmatrix} =\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \end{bmatrix} \qquad ( \ Lagrange \ resolvent \ )\\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} t_0 \ \in \ F_3[x] \\ t_1 \ \in \ F_3(v)[x] \end{array} \right. \quad \Longrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} B_4=a_4^2-A_4=0 \quad A_4 \in F_3 \\ \tilde{t_1} \ \in \ F_4[x]=F_3(a_4)[x] \end{array} \right. \\ \notag \\ &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1 } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_3(x)=\tilde{h_0} \cdot \tilde{h_1} \\ g_4(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_4[x] \end{array} \right. \\ \notag \\ & g_3(v)=0 \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} g_4(v)=0\\ B_4=0 \end{array} \right. \\ \end{align}
[5][6][7]と同様に、式(78)(79)は以下の様になります。注意する事は、\(F_3[x]\) の要素の乗算の後は、必ず \( [ \ ( \ mod \ g_3(v) \ ) \rightarrow ( \ mod \ B_3) \rightarrow ( \ mod \ B_2) \rightarrow ( \ mod \ B_1) \ ] \) の順で剰余計算をする事です。
\begin{align} h_0&=(x-v_1)=x-v \\ h_1&=(x-v_{16})=x+v+{a_3}+\frac{{a_2}}{2}+\frac{{a_1}}{4}+\frac{1}{8} \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} t_0&=x+\frac{8a_3+4a_2+2a_1+1}{16} \quad \in \ F_3[x]\\ t_1&=-v-\frac{8a_3+4a_2+2a_1+1}{16} \quad \in \ F_3(v) \\ \end{align}
\begin{align} a_4&= -v-\frac{8a_3+4a_2+2a_1+1}{16} \\ \notag \\ a_4^2&=\frac{{a_1} \left( 4 {a_3}-2\right) +\left( 8 {a_2}+2\right) {a_3}+4 {a_2}-17}{32} \equiv A_4 \quad \in \ F_3 \\ \notag \\ B_4&\equiv a_4^2-A_4=0 \quad \rightarrow \quad a_4=\sqrt{A_4} \ \in \ F_4 \equiv F_3(a_4)\\ \notag \\ & \therefore \ \tilde{t_1} \equiv a_4 \ \in \ F_4\\ \end{align}
\begin{align} \tilde{h_0}&=\frac{1}{2}(t_0+\tilde{t_1}) \equiv g_4(x) \\ g_4(x)&=x+{a_4}+\frac{{a_3}}{2}+\frac{{a_2}}{4}+\frac{{a_1}}{8}+\frac{1}{16} \\ \notag \\ &g_4(x) : \ Minimal \ polynomial \ of \ v \quad \rightarrow \quad \therefore \ g_4(v)=0 \\ \notag \\ &\therefore \ v= -\biggl[{a_4}+\frac{{a_3}}{2}+\frac{{a_2}}{4}+\frac{{a_1}}{8}+\frac{1}{16}\biggr] \quad \in \ F_4\\ \end{align}
以上で \(v\) の最小多項式の次数を低減してゆき、最終的には \(g_4(x)\) の一次式まで変形してきました。 従って、最終的に \(v\) の値は、式(95)となります。
次ページに続く
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