APX3 巡回多項式と円分方程式 \(\Phi_{17}(x)\)
[9] 円分多項式 \(\Phi_{17}=0\) の根
最終的な最小多項式 \(g_4(x)\) が求まったので、\([ \ \Phi_{17}=0 \ ]\) の根を求めます。式(18)の \(v_i\) の \(v\) に 式(95)を代入します。その際、 \( [ \ g_4(v) \rightarrow B_4 \rightarrow B_3 \rightarrow B_2 \rightarrow B_1 \ ] \) の順番で剰余（maximaの命令だと "remainder"を使います）を求めてゆく事に注意してください。 但し以下の \(v_i\) の式は、順番を変えてあります。例えば \( \{ \ [ v_{1},v_{16} ], \ [v_{2},v_{15} ],....\} \) の様に 多項式の形がよく似ているペア同士にしてあります。\begin{align} \setCounter{95} v_{1}&=-{a_4}-\frac{{a_3}}{2}-\frac{{a_2}}{4}-\frac{{a_1}}{8}-\frac{1}{16} \notag \\ v_{16}&= {a_4}-\frac{{a_3}}{2}-\frac{{a_2}}{4}-\frac{{a_1}}{8}-\frac{1}{16} \notag \\ \notag \\ v_{2}&={a_3} {a_4}+\frac{{a_2} {a_4}}{2}+\frac{{a_1} {a_4}}{4}+\frac{{a_4}}{8}+\frac{{a_2} {a_3}}{2}+\frac{{a_1} {a_3}}{4}+\frac{{a_3}}{8}+\frac{{a_2}}{4}-\frac{{a_1}}{8}-\frac{1}{16} \notag \\ v_{15}&=-{a_3} {a_4}-\frac{{a_2} {a_4}}{2}-\frac{{a_1} {a_4}}{4}-\frac{{a_4}}{8}+\frac{{a_2} {a_3}}{2}+\frac{{a_1} {a_3}}{4}+\frac{{a_3}}{8}+\frac{{a_2}}{4}-\frac{{a_1}}{8}-\frac{1}{16} \notag \\ \notag\\ v_{3}&=-{a_2} {a_3} {a_4}-\frac{{a_1} {a_3} {a_4}}{2}-\frac{{a_3} {a_4}}{4}-\frac{{a_2} {a_4}}{2}+\frac{{a_1} {a_4}}{4}-\frac{7 {a_4}}{8}-\frac{{a_1} {a_2} {a_3}}{4}-\frac{3 {a_2} {a_3}}{8} \notag \\ &\qquad -\frac{{a_3}}{4}+\frac{{a_1} {a_2}}{8}-\frac{{a_2}}{16}+\frac{{a_1}}{8}-\frac{1}{16} \notag \\ v_{14}&={a_2} {a_3} {a_4}+\frac{{a_1} {a_3} {a_4}}{2}+\frac{{a_3} {a_4}}{4}+\frac{{a_2} {a_4}}{2}-\frac{{a_1} {a_4}}{4}+\frac{7 {a_4}}{8}-\frac{{a_1} {a_2} {a_3}}{4}-\frac{3 {a_2} {a_3}}{8} \notag \\ &\qquad -\frac{{a_3}}{4}+\frac{{a_1} {a_2}}{8}-\frac{{a_2}}{16}+\frac{{a_1}}{8}-\frac{1}{16} \notag \\ \notag \\ v_{4}&=\frac{{a_1} {a_2} {a_3} {a_4}}{2}+\frac{3 {a_2} {a_3} {a_4}}{4}+\frac{3 {a_3} {a_4}}{2}-\frac{{a_1} {a_2} {a_4}}{4}+\frac{5 {a_2} {a_4}}{8}+\frac{{a_4}}{4}+\frac{{a_3}}{2}-\frac{{a_2}}{4} \notag \\ &\qquad -\frac{{a_1}}{8}-\frac{1}{16} \notag \\ v_{13}&=-\frac{{a_1} {a_2} {a_3} {a_4}}{2}-\frac{3 {a_2} {a_3} {a_4}}{4}-\frac{3 {a_3} {a_4}}{2}+\frac{{a_1} {a_2} {a_4}}{4}-\frac{5 {a_2} {a_4}}{8}-\frac{{a_4}}{4}+\frac{{a_3}}{2}-\frac{{a_2}}{4} \notag \\ &\qquad -\frac{{a_1}}{8}-\frac{1}{16} \notag \\ \notag \\ v_{5}&=-{a_2} {a_3} {a_4}-\frac{{a_1} {a_3} {a_4}}{2}-\frac{5 {a_3} {a_4}}{4}+\frac{{a_1} {a_4}}{2}-\frac{3 {a_4}}{4}+\frac{{a_1} {a_2} {a_3}}{4}+\frac{3 {a_2} {a_3}}{8}+\frac{{a_3}}{4} \notag \\ &\qquad +\frac{{a_1} {a_2}}{8}-\frac{{a_2}}{16}+\frac{{a_1}}{8}-\frac{1}{16} \notag \\ v_{12}&= {a_2} {a_3} {a_4}+\frac{{a_1} {a_3} {a_4}}{2}+\frac{5 {a_3} {a_4}}{4}-\frac{{a_1} {a_4}}{2}+\frac{3 {a_4}}{4}+\frac{{a_1} {a_2} {a_3}}{4}+\frac{3 {a_2} {a_3}}{8}+\frac{{a_3}}{4} \notag \\ &\qquad +\frac{{a_1} {a_2}}{8}-\frac{{a_2}}{16}+\frac{{a_1}}{8}-\frac{1}{16} \notag \\ \notag \\ v_{6}&={a_3} {a_4}-\frac{{a_1} {a_2} {a_4}}{2}+\frac{3 {a_2} {a_4}}{4}-\frac{{a_1} {a_4}}{4}+\frac{3 {a_4}}{8}-\frac{{a_1} {a_2} {a_3}}{4}-\frac{3 {a_2} {a_3}}{8}-\frac{{a_1} {a_3}}{2} \notag \\ &\qquad -{a_3}-\frac{{a_1} {a_2}}{8}+\frac{{a_2}}{16}+\frac{{a_1}}{8}-\frac{1}{16} \notag \\ v_{11}&=-{a_3} {a_4}+\frac{{a_1} {a_2} {a_4}}{2}-\frac{3 {a_2} {a_4}}{4}+\frac{{a_1} {a_4}}{4}-\frac{3 {a_4}}{8}-\frac{{a_1} {a_2} {a_3}}{4}-\frac{3 {a_2} {a_3}}{8}-\frac{{a_1} {a_3}}{2} \notag \\ &\qquad -{a_3}-\frac{{a_1} {a_2}}{8}+\frac{{a_2}}{16}+\frac{{a_1}}{8}-\frac{1}{16} \notag \\ \notag \\ v_{7}&=\frac{{a_1} {a_2} {a_3} {a_4}}{2}-\frac{{a_2} {a_3} {a_4}}{4}+\frac{{a_1} {a_3} {a_4}}{2}+\frac{3 {a_3} {a_4}}{4}+\frac{{a_1} {a_2} {a_4}}{4}-\frac{{a_2} {a_4}}{8}+\frac{{a_1} {a_4}}{4} \notag \\ &\qquad -\frac{5 {a_4}}{8}+\frac{{a_1} {a_2} {a_3}}{4}+\frac{3 {a_2} {a_3}}{8}+\frac{{a_1} {a_3}}{2}+{a_3}-\frac{{a_1} {a_2}}{8}+\frac{{a_2}}{16}+\frac{{a_1}}{8}-\frac{1}{16} \notag \\ v_{10}&= -\frac{{a_1} {a_2} {a_3} {a_4}}{2}+\frac{{a_2} {a_3} {a_4}}{4}-\frac{{a_1} {a_3} {a_4}}{2}-\frac{3 {a_3} {a_4}}{4}-\frac{{a_1} {a_2} {a_4}}{4}+\frac{{a_2} {a_4}}{8}-\frac{{a_1} {a_4}}{4} \notag \\ &\qquad +\frac{5 {a_4}}{8}+\frac{{a_1} {a_2} {a_3}}{4}+\frac{3 {a_2} {a_3}}{8}+\frac{{a_1} {a_3}}{2}+{a_3}-\frac{{a_1} {a_2}}{8}+\frac{{a_2}}{16}+\frac{{a_1}}{8}-\frac{1}{16} \notag \\ \notag \\ v_{8}&= -\frac{{a_1} {a_2} {a_3} {a_4}}{2}-\frac{3 {a_2} {a_3} {a_4}}{4}-{a_1} {a_3} {a_4}-{a_3} {a_4}-\frac{{a_1} {a_2} {a_4}}{4}+\frac{5 {a_2} {a_4}}{8}-\frac{{a_1} {a_4}}{2} \notag \\ &\qquad +\frac{{a_4}}{2}-\frac{{a_2} {a_3}}{2}-\frac{{a_1} {a_3}}{4}-\frac{{a_3}}{8}+\frac{{a_2}}{4}-\frac{{a_1}}{8}-\frac{1}{16} \notag \\ v_{9}&= \frac{{a_1} {a_2} {a_3} {a_4}}{2}+\frac{3 {a_2} {a_3} {a_4}}{4}+{a_1} {a_3} {a_4}+{a_3} {a_4}+\frac{{a_1} {a_2} {a_4}}{4}-\frac{5 {a_2} {a_4}}{8}+\frac{{a_1} {a_4}}{2} \notag \\ &\qquad -\frac{{a_4}}{2}-\frac{{a_2} {a_3}}{2}-\frac{{a_1} {a_3}}{4}-\frac{{a_3}}{8}+\frac{{a_2}}{4}-\frac{{a_1}}{8}-\frac{1}{16} \notag \\ \end{align}
各ステップで計算された最小多項式と2項方程式のリストも以下に示しておきます。
\begin{align} g_1(x)&=x^8+\frac{x^7}{2}+\frac{5x^6}{2}+\frac{7x^5}{2}+2x^4+\frac{7x^3}{2} \notag \\ &\qquad \quad +a_1x(x+1)^2(x^2+1)(x^2-x+1)+\frac{5x^2}{2}+\frac{x}{2}+1 \notag \\ g_2(x)&=x^4+\frac{(4a_2+2a_1+1)}{4}x^3+\frac{ \bigl( (2a_1-1)a_2+2a_1+7 \bigr) }{4}x^2 \notag \\ &\qquad \quad +\frac{(4a_2+2a_1+1)}{4}x+1 \notag \\ g_3(x)&=x^2+\biggl(a_3+\frac{a_2}{2}+\frac{a_1}{4}+\frac{1}{8}\biggr)x+1 \notag \\ g_4(x)&=x+{a_4}+\frac{{a_3}}{2}+\frac{{a_2}}{4}+\frac{{a_1}}{8}+\frac{1}{16} \notag \\ \end{align} \begin{align} \notag \\ B_1&=a_1^2-A_1=0 \quad a_1=\sqrt{A_1} \qquad A_1=\frac{17}{4} \notag \\ B_2&=a_2^2-A_2=0 \quad a_2=\sqrt{A_2} \qquad A_2=\frac{2 {a_1}+17}{8} \notag \\ B_3&=a_3^2-A_3=0 \quad a_3=\sqrt{A_3} \qquad A_3=-\frac{{a_1} \left( 4 {a_2}+6\right) -6 {a_2}-17}{16} \notag \\ B_4&=a_4^2-A_4=0 \quad a_4=\sqrt{A_4} \notag \\ &\qquad \qquad \qquad A_4=\frac{{a_1} \left( 4 {a_3}-2\right) +\left( 8 {a_2}+2\right) {a_3}+4 {a_2}-17}{32} \notag \\ \end{align}
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1st upload: 2023/06/17
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