APX5 \(x^3-2=0, \ x^5-3=0\) に関して
APX5-6 方程式 \(x^5-3=0\) の \(V(x)\) の計算
APX5-7 \(G(x)=x^{20}+84403125x^{10}+253125\) の既約性の続き
[step2] 前頁式(13)より \(factor(f(x),G(x))=0\) の5つの解 \(\{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\}\)が、\(f(x)=0\) の根を \(v\) で 表現したものとなります。（ 以下 \(\{x_2,x_3,x_4\}\) は \(\{x_1x_5\}\) 同様に複雑なので省略）\begin{align} \setCounter{13} x_1&=\frac{2207 {{v}^{16}}-75 {{v}^{11}}+186277658625 {{v}^{6}}-7411567500 v}{5661933750} \notag \\ &........ \notag \\ x_5&=-\frac{124 {{v}^{16}}+10465993125 {{v}^{6}}}{257360625} \\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \alpha=\frac{2207 {{v}^{16}}-75 {{v}^{11}}+186277658625 {{v}^{6}}-7411567500 v}{5661933750} \\ \beta=-\frac{281 {{v}^{16}}-50 {{v}^{11}}+23717244750 {{v}^{6}}-3997389375 v}{1887311250} \\ \gamma=-\frac{124 {{v}^{16}}+10465993125 {{v}^{6}}}{257360625} \\ \delta=-\frac{281 {{v}^{16}}+50 {{v}^{11}}+23717244750 {{v}^{6}}+3997389375 v}{1887311250} \\ \epsilon=\frac{2207 {{v}^{16}}+75 {{v}^{11}}+186277658625 {{v}^{6}}+7411567500 v}{5661933750} \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} &v=\alpha+2\beta+3\gamma+4\delta+5\epsilon \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1(v)=v_1=v \\ \sigma_2(v)=v_2=-\frac{61 {{v}^{16}}}{113238675}-\frac{{{v}^{11}}}{25164150}-\frac{228826127 {{v}^{6}}}{5032830}-\frac{814329 v}{335522} \\ \qquad ........\\ \sigma_8(v)=v_8=-\frac{233 {{v}^{16}}}{1132386750}-\frac{{{v}^{11}}}{75492450}-\frac{29134601 {{v}^{6}}}{1677610}-\frac{51841 v}{167761} \\ \qquad ........\\ \sigma_{119}(v)=v_{119}=-\frac{61 {{v}^{16}}}{113238675}+\frac{{{v}^{11}}}{25164150}-\frac{228826127 {{v}^{6}}}{5032830}+\frac{814329 v}{335522} \\ \sigma_{120}(v)=v_{120}=-v \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} \notag \\ & G(v_i)=0 \quad [ \ i=\{1,8,18,23,27,36,38,45,53,58, \\ &\qquad \qquad \qquad \qquad 63,68,76,83,85,94,98,103,113,120\} \ ] \notag \\ \end{align}
そして、式(18)で示される \(i\) の番号に対応する、対称群 \(S_5\) の中の20個の要素 \(\{\sigma_{1}, \sigma_{8},....,\sigma_{113}, \sigma_{120}\}\) は、ガロア拡大 \(F_0(v)/F_0\) の同型写像でもあり、 ガロア群でもある事になります。
因みに、この位数20の群は、 Frobenius群 \(F_{20}\) と呼ばれています。
更に、この群は位数10の二面体群 \(D_5\) と位数５の巡回群 \(C_5\) の正規部分群を持ちます。 従って、このFrobeniusu群は以下の様な組成列を構成します。
\begin{align} &Gal(F_0(v)/F_0)=F_{20} =\{\sigma_{1}, \sigma_{8},....,\sigma_{113}, \sigma_{120}\} \ : \ \ F_0(v)/F_0 のガロア群 \notag \\ \notag \\ &\therefore \quad ガロア群 F_{20} の組成列: \quad F_{20} \ \rhd \ \ D_5 \ \rhd \ C_5 \rhd \ {e} \\ \end{align}
通常は、この組成列に従って、以下の様に3回の巡回拡大をしながら、20次の最小多項式を1次の最小多項式まで変形します。 そして最終的には、各巡回拡大の際に定義された新たな添加数 \(\{a_1,a_2,a_3\}\) を使って、 \(v\) の値を決定してゆく計算となります。
\begin{align} \Bigl[F_{20}/D_5 \ \rhd \ e \ \Bigr] \ \rightarrow \ \Bigl[D_5/C_5 \ \rhd \ e \ \Bigr] \ \rightarrow \ \Bigl[C_5 \ \rhd \ e \ \Bigr] \end{align}
本当に既約なのでしょうか？
APX5-7 最小多項式 \(G(x)\) は基礎体 \(F_0(\zeta)\) で既約か？
ガロア群が位数20のFrobenius群の場合、組成列は式(19)の様になり、最小多項式の次数を低減する計算では、 式(20)の様に3段階の巡回拡大を繰り返す必要があります。その際に最後の巡回拡大 \(\Bigl[C_5 \ \rhd \ e \ \Bigr]\) での計算をする場合は、 予め1の原始5乗根 \(\zeta\) を基礎体に添加しておく必要があります。 従って、基礎体は \([ \ F_0 \equiv Q(\zeta) \ ]\) となるわけですから、\(G(x)\) が基礎体で既約かどうか、検証しておく必要があります。
そこで、 代数計算ソフトmaximaを使って、\(G(x)\) が既約かどうか確かめてみます。
例の代数体上での因数分解命令 \([ \ facore(p,q) \ ]\) を使って検証します。 ここで、 \([ \ p=G(x), \ q=Z \ ]\) です。但し、\(Z\)は、\(\zeta\)の円分多項式で、\([ \ Z=\zeta^4+\zeta^3+\zeta^2+\zeta+1=0 \ ]\)です。
\begin{align} factor&(G(x),Z); \quad Z=\zeta^4+\zeta^3+\zeta^2+\zeta+1=0 \\ &\Downarrow \notag \\ G(x)&=(x^5-5655ζ^3+1335ζ^2-4320ζ-2160) \notag \\ & \times (x^5-1335ζ^3-5655ζ^2-6990ζ-3495) \notag \\ & \times (x^5+1335ζ^3+5655ζ^2+6990ζ+3495) \notag \\ & \times (x^5+5655ζ^3-1335ζ^2+4320ζ+2160) \\ \end{align}
基礎体 \(F_0=Q(\zeta)\) では、\(G(x)\) は、既約多項式でない
事が判りました。 そこで、改めて原始根 \(v\) の最小多項式 \(g_0(x)\) を式(22)の第一因子にします。（最小多項式としては、4つの因子どれでもよいです）
\begin{align} g_0(x)&=x^5-5655ζ^3+1335ζ^2-4320ζ-2160 \\ &\quad g_0(x): \ minimal \ polynomial \ of \ v \notag \\ \end{align}
次に、この \(g_0(v)\) を使って、既に求めた \(f(x)\) の5根と \(G(x)\) の20根を、 基礎体 \(F_0=Q(\zeta)\) の数に変換します。
次ページに続く
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