APX5 \(x^3-2=0, \ x^5-3=0\) に関して
APX5-7 最小多項式 \(G(x)\) は基礎体 \(F_0(\zeta)\) で既約か？（続き）
前頁の式(15)(17)(18)で求めた、\(f(x)\) の5根と \(G(x)\) の20根の \(v\) の多項式表現は、 基礎体を \(Q\) とした場合の表現です。従って。基礎体 \(F_0=Q(\zeta)\) での表現にしなければなりません。まず、式(15)の5根 \(\{ \ \alpha, \ \beta, \ \gamma, \delta, \ \epsilon \ \}\) を \([ \ mod.g_0(v) \ \rightarrow \ mod.Z \ ]\) の順序で剰余を取ってみます。
以下がその結果です。
\begin{align} \setCounter{23} &\left\{ \begin{array}{l} \alpha=\frac{v}{5}( {{\zeta }^{3}}-3 {{\zeta }^{2}}-7 \zeta -6) \\ \beta= -\frac{v}{5}(4 {{\zeta }^{3}}+3 {{\zeta }^{2}}-3 \zeta -4) \\ \gamma= \frac{v}{5}( {{\zeta }^{3}}+7 {{\zeta }^{2}}+8 \zeta +4)\\ \delta= \frac{v}{5}(6 {{\zeta }^{3}}+7 {{\zeta }^{2}}+3 \zeta - 1)\\ \epsilon=-\frac{v}{5}(4 {{\zeta }^{3}}+8 {{\zeta }^{2}}+7 \zeta +1) \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
次に\(G(x)\)の20根を、上と同様に \(\{g_0(v),Z\}\) で剰余を取り、 その結果を、最小多項式 \(g_0(x)\) に代入してみて、最小多項式の根かどうかを チェックしてみると以下の様になりました。
\begin{align} &\{v_{1},v_{38},v_{53},v_{94},v_{113} \} & g_0(v_i)&=0 \\ &\{v_{8},v_{27},v_{68},v_{83},v_{120}\} & g_0(v_i)&=-11310\zeta^3+2670\zeta^2-8640\zeta-4320 \notag \\ &\{v_{23},v_{36},v_{63},v_{76},v_{103}\} & g_0(v_i)&= -6990\zeta^3-4320\zeta^2-11310\zeta-5655 \notag \\ &\{v_{18},v_{45},v_{58},v_{85},v_{98}\} & g_0(v_i)&= -4320\zeta^3+6990\zeta^2+2670\zeta+1335 \notag \\ \end{align}
\begin{align} &\qquad g_0(v_i)=0 \quad i=\{1,38,53,58,94,113 \} \\ \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} v_1=v \qquad \qquad v_{38}=v\zeta^2 \qquad \qquad v_{53}=v\zeta^3 \\ v_{94}=-v(\zeta^3+\zeta^2+\zeta+1) \quad \qquad v_{113}=v\zeta \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
従って、ガロア拡大 \(F_0(v)/F_0\) は、拡大次数5であり、ガロア群は巡回群 \(C_5\) である事が判りました。
また、組成列は \([\ C_5 \rhd e \ ]\) となり、ガロア群 \(C_5\) は可解となります。
APX5-8 最小多項式 \(g_0(x)=0\) を解く
第1段目
最小多項式が\(G(x)\)の場合の
体の拡大と対応する群の縮小系列
第2～5段目
\(F_{20}\) の組成列に従い、黄色の部分を 順次、3つの緑色の巡回拡大に分解してゆく。
3段目 \(F_{20}/D_5 \ \rhd \ e \)
4段目 \(D_5/C_5 \ \rhd \ e \)
5段目 \(C_5 \ \rhd \ e \)
併せて、1の原始5乗根を求める部分も、 3段目で2つの水色の巡回拡大に分解する。
(補足2を参照)
\(G(x)\) は基礎体 \(F_0\) では、 既約ではないので、第1段から第5段までの手順は 成立しない。
新たな最小多項式を \(g_0(x)\) とした時の 計算手順が第6段目以降となる。
第6～7段目
ガロア群が \(C_5\) なので、巡回拡大となる。
巡回群 \(C_5\) の生成元を一つ決めます。
式(27)を眺めると、\(v_{113}\) が単純なので、 対応する対称群 \(S_5\) の元 \(\sigma_{113}\) を \(C_5\) の生成元とします。
簡単の為に \(\sigma_{113} \) を \(\rho\) と記述します。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \rho \equiv \sigma_{113} \\ \rho(v)=v\zeta \\ \rho^2(v)=\rho(v\zeta)=\zeta\rho(v)=\zeta^2v=\sigma_{38}(v) \\ \rho^3(v)=\rho(v\zeta^2)=\zeta^2\rho(v)=\zeta^3v=\sigma_{53}(v) \\ \rho^4(v)=\rho(v\zeta^3)=\zeta^3\rho(v)=\zeta^4v=-(\zeta^3+\zeta^2+\zeta+1)v=\sigma_{94}(v) \\ \rho^5(v)=\rho(v\zeta^4)=\zeta^4\rho(v)=\zeta^5v=v=\sigma_{1}(v) \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
\begin{align} \sigma_{113} \ \rightarrow \ \sigma_{38} \ \rightarrow \ \sigma_{53} \ \rightarrow \ \sigma_{94} \ \rightarrow \ \sigma_{1} \\ \end{align}
次ページに続く
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