APX5 \(x^3-2=0, \ x^5-3=0\) に関して
APX5-9 最小多項式 \(g_1(x)\) の計算
先ずガロア群が \(C_5\) である事より、【補足2】の \(\zeta_5\) の計算と全く同一の 計算手順となります。従って細かい説明は省きますが、計算手順は下記の四角枠にまとめてあります。
\begin{align} \setCounter{29} &\left\{ \begin{array}{l} h_0=(x-v_1), \quad h_1=(x-v_{113}), \quad h_2=(x-v_{38}) \\ h_3=(x-v_{53}), \quad h_4=(x-v_{94}) \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ \end{align}
\( \qquad Lagrange \ resolvent \)
\begin{align} &\begin{bmatrix} t_0 \\ t_1 \\ t_2 \\ t_3 \\ t_4 \end{bmatrix} =\frac{1}{5} \begin{bmatrix} 1&1&1&1&1 \\ 1&\zeta&\zeta^2&\zeta^3&\zeta^4\\ 1&(\zeta^2)&(\zeta^2)^2&(\zeta^2)^3&(\zeta^2)^4\\ 1&(\zeta^3)&(\zeta^3)^2&(\zeta^3)^3&(\zeta^3)^4\\ 1&(\zeta^4)&(\zeta^4)^2&(\zeta^4)^3&(\zeta^4)^4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_0 \\ h_1 \\ h_2 \\ h_3 \\ h_4 \end{bmatrix} \\ \notag \\ &\qquad \qquad \bbox[#00FFFF]{ Z=\zeta^4+\zeta^3+\zeta^2+\zeta+1=0 } \notag \\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} t_0 \ \in \ F_1[x] \\ \{t_1,t_2,t_3,t_4\} \ \in \ F_1(v)[x] \end{array} \right. \ \Longrightarrow \ \left\{ \begin{array}{l} B_1=a_1^5-A_1=0 \quad A_1 \in F_0 \\ \{\tilde{t_1},\tilde{t_2},\tilde{t_3},\tilde{t_4} \} \ \in \ F_1[x]=F_0(a_1)[x] \end{array} \right. \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} &\begin{bmatrix} \tilde{h_0}\\ \tilde{h_1} \\ \tilde{h_2}\\ \tilde{h_3}\\ \tilde{h_4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&1&1&1 \\ 1&\zeta^4&(\zeta^2)^4&(\zeta^3)^4&(\zeta^4)^4\\ 1&\zeta^3&(\zeta^2)^3&(\zeta^3)^3&(\zeta^4)^3\\ 1&\zeta^2&(\zeta^2)^2&(\zeta^3)^2&(\zeta^4)^2\\ 1&\zeta^1&(\zeta^2)&(\zeta^3)&(\zeta^4) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0\\ \tilde{t_1} \\ \tilde{t_2} \\ \tilde{t_3} \\ \tilde{t_4} \end{bmatrix} \\ \notag \\ &g_0(x)=h_0 \cdot h_1 \cdot h_2 \cdot h_3 \cdot h_4 \quad \in \ F_0(v)[x] \\ &\qquad=(x-v_{1})(x-v_{34})(x-v_{65})(x-v_{91})(x-v_{97}) \notag \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ &\left\{ \begin{array}{l} g_0(x)=\tilde{h_0}\cdot \tilde{h_1} \cdot \tilde{h_2}\cdot \tilde{h_3}\cdot \tilde{h_4} \ \in \ F_1[x] \\ g_1(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_1[x] \end{array} \right. \\ \end{align}
前頁式(29)より、\(C_5\) の生成元を \(\sigma_{113}\) としたときに、\(\sigma_{113}\) を累乗する事により順序が 決まりました。
その順番に従って、式(30)に示す様に \(h_i\) の式がきまります。式(30)に式(27)を 代入して、式(31)を計算すると下式となります。
\begin{align} &t_0=x, \ t_1=0, \ t_2=0, \ t_3=0, \ t_4=-v\\ \end{align}
\(t_1=0\) となっても、特段驚く必要はありません。\(t_i=0\) となったときの対処方法は、 【例題3】の最後の「EX3-覚書」に書いてありますので、参照して下さい。
上記覚書に従い、 \(t_4\) を使って、冪根拡大のための2項方程式 \([ \ B_1=0 \ ]\) を作ります。 この時新たな添加数 \(a_1\) を基礎体 \(F_0\) に添加して、拡大体 \(F_1\) を生成します。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} A_1=t_4^5=-5655\zeta^3+1335\zeta^2-4320\zeta-2160 \ \in F_0\\ a_1=\sqrt[5]{A_1} \ \in F_1=F_0(a_1)\\ B_1=a_1^5-A_1=a_1^5+5655\zeta^3-1335\zeta^2+4320\zeta+2160\\ \end{array} \right. \\ \end{align}
\(\tilde{h_0}\) は最小多項式 \(g_1(x)\) そのものですから、\(g_1(x)=0\) の根 \(-a_1\) が、 最終的に求める \(v\) の値となります。
\begin{align} &\tilde{t_1}=0, \ \tilde{t_2}=0, \ \tilde{t_3}=0, \ \tilde{t_4}=a_1 \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ &\tilde{h_0}=t_0+\tilde{t_1}+\tilde{t_2}+\tilde{t_3}+\tilde{t_4}=x+a_1 \\ &\qquad \Downarrow \notag \\ &g_1(x) \equiv x+a_1 \quad \rightarrow \quad \therefore v=-a_1\\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \alpha=\frac{-a_1}{5}( {{\zeta }^{3}}-3 {{\zeta }^{2}}-7v \zeta -6) \\ \beta= \frac{a_1}{5}(4 {{\zeta }^{3}}+3 {{\zeta }^{2}}-3 v \zeta -4) \\ \gamma= \frac{-a_1}{5}( {{\zeta }^{3}}+7 {{\zeta }^{2}}+8 v \zeta +4)\\ \delta= \frac{-a_1}{5}(6 {{\zeta }^{3}}+7 {{\zeta }^{2}}+3 v \zeta - 1)\\ \epsilon=\frac{a_1}{5}(4 {{\zeta }^{3}}+8 {{\zeta }^{2}}+7 v \zeta +1) \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
ここで、今までの例題や補足で扱ってきた拡大体の次数を表にしてみました。
普通、教科書の説明の体の拡大次数は、与えられた方程式のガロア群の拡大次数（下記の表の \(n_2\)）を言っております。 しかし、本来は根を求める為に予め基礎体に組み入れた1の原始p乗根の拡大次数（下記の表の \(n_1\)）も、議論の前面に 出す必要があると思います。 そうしないと、今回の【補足5】で扱った方程式の拡大次数が、普通教科書に書かれている拡大次数より 小さくなってしまいます。p乗根の拡大次数まで考慮に入れれば、従来 通りの拡大次数になります。（下記の表の黄色の数値）
| 1のp乗根 | 拡大次数 \(n_1\) | 方程式 | 拡大次数 \(n_2\) | 総合拡大次数 \(n_1 \times n_2\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| 例題1 | \(\omega\) | 2 | \(x^3+3x+1\) | 6 | 12 |
| 例題2 | \(\omega\) | 2 | \(x^3-3x+1\) | 3 | 6 |
| 例題3 | \(\zeta_5\) | 4 | \(x^5-10x^3+5x^2+10x+1\) | 5 | 20 |
| 例題4 | \(\omega\) | 2 | \(x^4+4x+2\) | 24 | 48 |
| 補足5-1 | \(\omega\) | 2 | \(x^3-2\) | \(\bbox[#FFE0EB]{3}\) | \(\bbox[#FFFF00]{6}\) |
| 補足5-2 | \(\zeta_5\) | 4 | \(x^5-3\) | \(\bbox[#FFE0EB]{5}\) | \(\bbox[#FFFF00]{20}\) |
（参考）本「ガロア理論の頂を踏む」の6章「根号で表す」の最後に、上記1のp乗根の拡大次数\(n_1\)は
「黒子だ」と言う記述があります。
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