【例題2】の解法手順
EX2-1\begin{align*} &f(x)=3x^3-3x+1 \quad \{\alpha,\beta,\gamma\}: \ roots \ of \ f(x)\\ &Primitive \ element \quad v=1\cdot\alpha+2\cdot \beta+3\cdot\gamma \end{align*}
\[\qquad The \ system \ of \ equations\]
\[ \qquad \left\{ \begin{array}{l} \alpha^3-3\alpha+1=0\\ \beta^2+\alpha\beta+\alpha^2-3=0\\ \alpha+\beta+\gamma=0\\ v-(\alpha+2\beta+3\gamma)=0 \end{array} \right.\\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \]
\[\qquad Elimination \ Theory\]
\[ \qquad V(v)= v^6-18v^4+81v^2-81 \\ \qquad \qquad =\left( {{v}^{3}}-9 v-9\right) \, \left( {{v}^{3}}-9 v+9\right) \]
\[g_{0}(x)=x^3-9x-9 \]
\[ g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\omega) \]
\[Factorization \ of \ f(x) \ on \ F_0(v)\] \[\quad "maxima's \ function \ "\] \[\qquad factor(f(x),g_0(v))\]
\begin{align*} \alpha&=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+2 & \beta&=\frac{2 {{v}^{2}}}{3}-v-4\\ \gamma&=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+v+2 & & \end{align*}
\begin{align*} v_{1}&=v & v_{2}&={{v}^{2}}-v-6\\ v_{3}&=-{{v}^{2}}+2 v+6 & v_{4}&=-{{v}^{2}}+v+6\\ v_{5}&={{v}^{2}}-2 v-6 & v_{6}&=-v \end{align*}
\begin{align*} &g_0(v_i)=0 \quad for \ (i=1,4,5) \\ &\qquad \qquad \Downarrow\ \\ &A_3: Galois \ group \ of \ F(x) \\ &\qquad composition \ series \quad A_3 \rhd \{e\} \end{align*}
\begin{align*} &g_1(x) : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ &g_{1}(x)=x-\frac{{{a}_{1}^{2}} \omega }{3}-\frac{2 {{a}_{1}^{2}}}{3}+{a_1} \in F_{1}[x] \\ \end{align*}
\begin{align*} \\ F_1=F_0(a_1) \quad Here \ B_1&={{a}_{1}^{3}}-3\omega +3 =0, \\ \Omega&=\omega^2+\omega+1=0 \end{align*}
\begin{align*} v=&\frac{{{a}_{1}^{2}} \omega }{3}+\frac{2 {{a}_{1}^{2}}}{3}-{a_1} \\ \\ \alpha=&\frac{{a_1} \omega }{3}-\frac{{{a}_{1}^{2}}}{3}+\frac{2 {a_1}}{3}\\ \beta=&-\frac{{{a}_{1}^{2}} \omega }{3}-\frac{2 {a_1} \omega }{3}-\frac{{a_1}}{3}\\ \gamma=&\frac{{{a}_{1}^{2}} \omega }{3}+\frac{{a_1} \omega }{3}+\frac{{{a}_{1}^{2}}}{3}-\frac{{a_1}}{3}\\ \\ Here &\quad B_1={{a}_{1}^{3}}-3\omega +3 =0,\\ &\quad \Omega=\omega^2+\omega+1=0 \end{align*}
EX2-6 方程式 \(f(x)\) のガロア群の決定
EX2-6-1 \(g_0(x)\) の根は？
\(v\) の最小多項式 \(g_0(x)\) の根を考えます。
\(V(x)\) の根 \(\{ \ v_1,v_2,..,v_6 \ \}\) の多項式表現式(27)を \(g_0(x)\) に
代入した結果が式(31)です。\(v_3,v_4\) を\(g_0(x)\)に代入した計算例も示してあります。
計算の際、拡大体 \(F_0(v)\) の中で計算するので \(( \ mod \ g_0(v)) \ \) を取る事に
注意する必要があります。
\begin{align} \setCounter{30} &g_0(v_1)={{v}^{3}}-9 v-9= 0 \notag \\ &g_0(v_2)={{v}^{6}}-3 {{v}^{5}}-15 {{v}^{4}}+35 {{v}^{3}}+81 {{v}^{2}}-99 v-171=-18 \notag \\ &g_0(v_3)={{v}^{6}}-3 {{v}^{5}}-15 {{v}^{4}}+35 {{v}^{3}}+81 {{v}^{2}}-99 v-171=-18 \notag \\ &g_0(v_4)=-{{v}^{6}}+3 {{v}^{5}}+15 {{v}^{4}}-35 {{v}^{3}}-81 {{v}^{2}}+99 v+153=0 \notag \\ &g_0(v_5)={{v}^{6}}-6 {{v}^{5}}-6 {{v}^{4}}+64 {{v}^{3}}+27 {{v}^{2}}-198 v-171=0 \notag \\ &g_0(v_6)=-{{v}^{3}}+9 v-9=-18 \notag \\ \notag \\ & \therefore \quad g_0(v_1)=g_0(v_4)=g_0(v_5)=0 \\ &\qquad \ g_0(v_2)=g_0(v_3)=g_0(v_6)=-18 \notag \\ \end{align}
従って \(F_0(v)\) は \(F_0\) のガロア拡大となります。
EX2-6-2 \(Gal(F_0(v)/F_0) : \ Galois \ group \ of \ F_0(v)/F_0 \)
\(F_0(v)\) は ガロア拡大体と言う事が判ったので、体論より以下の事が言えます。
[1] ガロア拡大体\(F_0(v)\)に対し、\(F_0\)の元を不動にする \(\sigma_i(v)=v_i\) を満たす
\(F_0\)上の自己同型写像 \(\{\sigma_{1}, \sigma_{4},\sigma_{5}\}\) が存在する。
[2] \(F_0\)上の自己同型写像全体 \(\{\sigma_{1}, \sigma_{4},\sigma_{5}\}\) は群をなす。
それを \(Gal(F_0(v)/F_0)\) で表し 「 \(F_0(v)/F_0\) のガロア群である」と言う。
[3] \(n(=3)=F_0(v)\)の拡大次数 \([F_0(v):F_0]=Gal(F_0(v)/F_0)\) の位数
[4] 拡大体 \(F_0(v)\) は \(f(x)\) の \(F_0\) 上の最小分解体である。
この時 \(Gal(F_0(v)/F_0)\) は 「\(f(x)\) の \(F_0\) 上のガロア群である」とも言う。
上記四角枠の中の[1][2]で主張されている「\(F_0\)上の自己同型写像全体 \(\{\sigma_{1}, \sigma_{4},\sigma_{5}\}\) が存在し、群をなす。」とは、具体的にはどの様なものなのか？
結論は、「自己同型写像全体 \(\{\sigma_{1}, \sigma_{4},\sigma_{5}\}=\) 対称群\(A_3\) 」です。
以下で実際に計算して確認してみます。
[1]の定義に従い、式(27)より \(g_0(x)\) の3根を選び、\(F_0\) 上の自己同型写像を式(32)とします。
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} \sigma_{1}(v)=v_1=v_1(v)=v \\ \sigma_{4}(v)=v_4=v_4(v)= -{{v}^{2}}+v+6 \\ \sigma_{5}(v)=v_5=v_5(v)={{v}^{2}}-2 v-6 \\ \end{array} \right. \\ \end{align}
その為には、\( \sigma_i \circ \sigma_j=\sigma_k \) なる積表を計算する必要があります。
その際、\(\sigma_i\)は 「\(F_0\) 上の自己同型写像」なので、\(F_0\)の元（即ち\(Q\)の元）は不動です。
例として、\(\sigma_5 \circ \sigma_4(v)\) を計算してみます。
\begin{align} &\sigma_5 \circ \sigma_4(v)=\sigma_5(v_4)=\sigma_5(-v^2+v+6) \notag \\ &=-\sigma_5(v^2)+\sigma_5(v)+\sigma_5(6)=-\sigma_5(v) \cdot \sigma_5(v)+\sigma_5(v)+6 \notag \\ &=-v_5^2+v_5+6=-(v^2-2v-6)^2+(v^2-2v-6)+6 \notag \\ &=-{{v}^{4}}+4 {{v}^{3}}+9 {{v}^{2}}-26 v-36=v \quad ( \ mod \ g_0(v) \ ) \notag \\ &=v_1=\sigma_1(v) \notag \\ \notag \\ & \therefore \ \sigma_5 \circ \sigma_4(v)=\sigma_5(v_4)=v=v_1=\sigma_1(v) \\ &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ &\sigma_5 \circ \sigma_4(v)=\sigma_1(v) \ \Rightarrow \ \sigma_5 \circ \sigma_4=\sigma_1 \\ &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \sigma_5(v_4)=v_1\\ \end{align}
| \( i \backslash j \) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_5\) |
|---|---|---|---|
| \(\sigma_1\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_5\) |
| \(\sigma_4\) | \(\sigma_4\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_1\) |
| \(\sigma_5\) | \(\sigma_5\) | \(\sigma_1\) | \(\sigma_4\) |
| \( i \backslash j \) | \(\sigma_i(v_1)\) | \(\sigma_i(v_4)\) | \(\sigma_i(v_5)\) |
|---|---|---|---|
| \(\sigma_1\) | \(v_1\) | \(v_4\) | \(v_5\) |
| \(\sigma_4\) | \(v_4\) | \(v_5\) | \(v_1\) |
| \(\sigma_5\) | \(v_5\) | \(v_1\) | \(v_4\) |
【表1】より同型写像の全体 \(\{\sigma_{1}, \sigma_{4},\sigma_{5}\}\)は、3次の巡回群である事が判ります。
更にこの群は、対称群\(S_3\)の部分群\(A_3\)である事もわかります。従って以下の事が言えました。
\begin{align} &Gal(F_0(v)/F_0): \ Galois \ group \ of \ F_0(v)/F_0=\{\sigma_1,\sigma_4,\sigma_5\}=A_3 \\ \notag \\ &\therefore \quad ガロア群 A_3 の組成列: \quad A_3 \ \rhd \ \{e\}\\ \end{align}
次ページに続く
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