ガロア理論を使って方程式を解いた事ありますか?

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【例題1】 EX1-RT1  EX1-RT2  EX1-RT3  EX1-RT4   ガロア群
         \(f(x)=x^3+3x+1\)           \(S_3\)
【例題2】 EX2  \(f(x)=x^3-3x+1\)           \(A_3\)
【例題3】 EX3  \(f(x)=x^5-10x^3+5x^2+10x+1\)  \( \ \ C_5\)
【例題4】 EX4  \(f(x)=x^4+4x+2\)           \(S_4\)


    【補足1】 APX1 代数体上での因数分解
    【補足2】 APX2 1の原始冪乗根 \("\omega \ and \ \zeta_5"\) の計算
    【補足3】 APX3 巡回多項式と円分方程式 \(\Phi_{17}(x)\)
    【補足4】 APX4 添加数生成時の計算のポイント
    【補足5】 APX5 \(x^3-2=0, \ x^5-3=0\) に関して
    【補足6】 APX6 拡大体 \(F_i\) での計算の注意点

【例題2】の解法手順

EX2-1

\begin{align*} &f(x)=3x^3-3x+1 \quad \{\alpha,\beta,\gamma\}: \ roots \ of \ f(x)\\ &Primitive \ element \quad v=1\cdot\alpha+2\cdot \beta+3\cdot\gamma \end{align*}

流れ
EX2-2

\[\qquad The \ system \ of \ equations\]

\[ \qquad \left\{ \begin{array}{l} \alpha^3-3\alpha+1=0\\ \beta^2+\alpha\beta+\alpha^2-3=0\\ \alpha+\beta+\gamma=0\\ v-(\alpha+2\beta+3\gamma)=0 \end{array} \right.\\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \]

\[\qquad Elimination \ Theory\]

\[ \qquad V(v)= v^6-18v^4+81v^2-81 \\ \qquad \qquad =\left( {{v}^{3}}-9 v-9\right) \, \left( {{v}^{3}}-9 v+9\right) \]

流れ
EX2-3

\[g_{0}(x)=x^3-9x-9 \]

\[ g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\omega) \]

流れ
EX2-4

\[Factorization \ of \ f(x) \ on \ F_0(v)\] \[\quad "maxima's \ function \ "\] \[\qquad factor(f(x),g_0(v))\]

流れ
EX2-5

\begin{align*} \alpha&=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+2 & \beta&=\frac{2 {{v}^{2}}}{3}-v-4\\ \gamma&=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+v+2 & & \end{align*}

\begin{align*} v_{1}&=v & v_{2}&={{v}^{2}}-v-6\\ v_{3}&=-{{v}^{2}}+2 v+6 & v_{4}&=-{{v}^{2}}+v+6\\ v_{5}&={{v}^{2}}-2 v-6 & v_{6}&=-v \end{align*}

流れ
EX2-6

\begin{align*} &g_0(v_i)=0 \quad for \ (i=1,4,5) \\ &\qquad \qquad \Downarrow\ \\ &A_3: Galois \ group \ of \ F(x) \\ &\qquad composition \ series \quad A_3 \rhd \{e\} \end{align*}

流れ
EX2-7

\begin{align*} &g_1(x) : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ &g_{1}(x)=x-\frac{{{a}_{1}^{2}} \omega }{3}-\frac{2 {{a}_{1}^{2}}}{3}+{a_1} \in F_{1}[x] \\ \end{align*}

\begin{align*} \\ F_1=F_0(a_1) \quad Here \ B_1&={{a}_{1}^{3}}-3\omega +3 =0, \\ \Omega&=\omega^2+\omega+1=0 \end{align*}

流れ
EX2-8

\begin{align*} v=&\frac{{{a}_{1}^{2}} \omega }{3}+\frac{2 {{a}_{1}^{2}}}{3}-{a_1} \\ \\ \alpha=&\frac{{a_1} \omega }{3}-\frac{{{a}_{1}^{2}}}{3}+\frac{2 {a_1}}{3}\\ \beta=&-\frac{{{a}_{1}^{2}} \omega }{3}-\frac{2 {a_1} \omega }{3}-\frac{{a_1}}{3}\\ \gamma=&\frac{{{a}_{1}^{2}} \omega }{3}+\frac{{a_1} \omega }{3}+\frac{{{a}_{1}^{2}}}{3}-\frac{{a_1}}{3}\\ \\ Here &\quad B_1={{a}_{1}^{3}}-3\omega +3 =0,\\ &\quad \Omega=\omega^2+\omega+1=0 \end{align*}

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EX2-6-3 \(Gal(F_0(v)/F_0) : \ Galois \ group \ of \ f(x)\)

次に、前頁の四角枠の[4]に関して検証してみます。

その為には、同型写像の全体 \(\{\sigma_{1}, \sigma_{4},\sigma_{5}\}\)が、 \(f(x)\)の3根\(\{\alpha,\beta,\gamma\}\)の置換群になっていることを確認すればよい事になります。 そこで、\(\{\sigma_{1}, \sigma_{4},\sigma_{5}\}\)が3根\(\{\alpha,\beta,\gamma\}\)に対して、どの様に 作用するのかを確かめてみます。 具体例として\(\sigma_4(\beta)\)を式(22)(27)を使って計算してみます。

\begin{align} \setCounter{37} \beta&=\frac{2v^2}{3}-v-4, \qquad v_4=-v^2+v+6 \notag \\ \therefore \ \sigma_4(\beta)&=\sigma_4\left(\frac{2v^2}{3}-v-4 \right)=\frac{2v_4^2}{3}-v_4-4 \\ &=\frac{2(-v^2+v+6)^2}{3}-(-v^2+v+6)-4 \notag \\ &=\frac{2 {{v}^{4}}}{3}-\frac{4 {{v}^{3}}}{3}-\frac{19 {{v}^{2}}}{3}+7 v+14\notag \\ &=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+v+2=\gamma \quad ( \ mod \ g_0(v) \ ) \\ \therefore \ \sigma_4(\beta)&=\gamma\\ \end{align}

【表3】\(\sigma_i(\alpha,\beta,\gamma)\) 変換表
\( i \backslash j \)\(\sigma_i(\alpha)\)\(\sigma_i(\beta)\)\(\sigma_i(\gamma)\)
\(\sigma_1\)\(\alpha\)\(\beta\)\(\gamma\)
\(\sigma_4\)\(\beta\)\(\gamma\)\(\alpha\)
\(\sigma_5\)\(\gamma\)\(\alpha\)\(\beta\)

式(40)より \(\sigma_4\) は、\(\beta\) を \(\gamma\) に置換する
作用をする事が判りました。
同様の計算を \([i,j]\) の組み合わせを
\(\{1,4,5\}\) 全てにわたり計算すると、
左の【表3】が出来ます。
この表からも、\(f(x)\) のガロア群は、
\(A_3=\{\sigma_{1}, \sigma_{4},\sigma_{5}\}\) である事が
判りました。
従って以下の事が言えました。

\begin{align} Gal(F_0(v)/F_0): \ Galois \ group \ of \ f(x) =\{\sigma_1,\sigma_4,\sigma_5\}=A_3 \\ \end{align}



次頁に続く

【補足】乱暴な議論ですみませんが、、、

少しページに余白が出来たので、順序だてた議論を一切無視して、「ガロア理論を使った 方程式の解法」の計算過程で、「何がどの様な順序で決まるなか?」と考えたら、以下のような スローガンになりました。

「\(f(x)\)と \(v\) を決めれば全てが決まってしまう」 (【例題1】【例題2】の場合で示します。)

[Step1] 方程式 \(f(x)\) を設定すると、即 \(f(x)\) のガロア群が決まります。
【例題1】\(f(x)\)のガロア群:対称群 \(S_3\)  同型写像の全体: \(\{\sigma_{1}, \sigma_{2},..,\sigma_{6}\}\)
【例題2】\(f(x)\)のガロア群:対称群 \(A_3\)  同型写像の全体:\(\{\sigma_{1}, \sigma_{4},\sigma_{5}\}\)

[Step2] 原始元 \(v=\alpha+2\beta+3\gamma\) と定義すると即 \(v\) の最小多項式 \(g_0(x)\) が決まります。
          ⇩
[Step3]  \(f(x)\) の根の \(v\) による多項式表現 \([\alpha(v),\beta(v),\gamma(v)]\) が求められます。
          ⇩
[Step4] \(g_0(x)\) の根の \(v\) による多項式表現が求められます。
【例題1】:\( [ v_1(v),v_2(v),..,v_6(v) ] \)  【例題2】:\([v_1(v),v_4(v),v_5(v)]\)
          ⇩
ここまで(【例題2】では左のフローチャートEX2-6まで)は、ガロア理論を知らなくともたどり着けます。 何故なら、全ての計算は単拡大 \(F_0(v)\) の世界の中だけで、出来たからです。
          ⇩
[Step5] 単拡大\(F_0(v)\)の世界からガロア理論を使って、新しい添加数\(a_1\)や\(a_2\)を使い、 拡大体の内容を下記の様に変えてゆき、最終的には\(f(x)\)の3根を添加数\(a_1\)や\(a_2\)だけの多項式表現にする。

\begin{align} &【例題1】\quad F_0(v) \quad \Rightarrow \quad F_0(v,a_1) \quad \Rightarrow \quad F_0(a_1,a_2) \notag \\ &\qquad [\alpha(v),\beta(v),\gamma(v)] \qquad \Longrightarrow \qquad [\alpha(a_1,a_2),\beta(a_1,a_2),\gamma(a_1,a_2)]\notag \\ \notag \\ &【例題2】\quad F_0(v) \qquad \quad \Rightarrow \qquad F_0(a_1)\notag \\ &\qquad [\alpha(v),\beta(v),\gamma(v)] \quad \Rightarrow \quad [\alpha(a_1),\beta(a_1),\gamma(a_1)]\notag \\ \end{align}


当たり前の話で恐縮ですが、上記の多項式表現は、原始元 \(v\) の定義式 \(v=\alpha+2\beta+3\gamma\) の係数 \([1,2,3]\) が 変われば、\(g_0(x)\) の式自身も変わりますし、それに伴い、\(f(x)\) や \(g_0(x)\) の根の多項式表現も 全く違う式になりますが、但しそれは見かけ上の話であり、本質は何も変わらず、以降の計算手順には何の影響もありません。


次頁に続く


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  1st upload: 2023/06/17
  revision2 : 2023/07/27


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