ガロア理論を使って方程式を解いた事ありますか?

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【例題1】 EX1-RT1  EX1-RT2  EX1-RT3  EX1-RT4   ガロア群
         \(f(x)=x^3+3x+1\)           \(S_3\)
【例題2】 EX2  \(f(x)=x^3-3x+1\)           \(A_3\)
【例題3】 EX3  \(f(x)=x^5-10x^3+5x^2+10x+1\)  \( \ \ C_5\)
【例題4】 EX4  \(f(x)=x^4+4x+2\)           \(S_4\)


    【補足1】 APX1 代数体上での因数分解
    【補足2】 APX2 1の原始冪乗根 \("\omega \ and \ \zeta_5"\) の計算
    【補足3】 APX3 巡回多項式と円分方程式 \(\Phi_{17}(x)\)
    【補足4】 APX4 添加数生成時の計算のポイント
    【補足5】 APX5 \(x^3-2=0, \ x^5-3=0\) に関して
    【補足6】 APX6 拡大体 \(F_i\) での計算の注意点

【例題2】の解法手順

EX2-1

\begin{align*} &f(x)=3x^3-3x+1 \quad \{\alpha,\beta,\gamma\}: \ roots \ of \ f(x)\\ &Primitive \ element \quad v=1\cdot\alpha+2\cdot \beta+3\cdot\gamma \end{align*}

流れ
EX2-2

\[\qquad The \ system \ of \ equations\]

\[ \qquad \left\{ \begin{array}{l} \alpha^3-3\alpha+1=0\\ \beta^2+\alpha\beta+\alpha^2-3=0\\ \alpha+\beta+\gamma=0\\ v-(\alpha+2\beta+3\gamma)=0 \end{array} \right.\\ \qquad \qquad \qquad \Downarrow \]

\[\qquad Elimination \ Theory\]

\[ \qquad V(v)= v^6-18v^4+81v^2-81 \\ \qquad \qquad =\left( {{v}^{3}}-9 v-9\right) \, \left( {{v}^{3}}-9 v+9\right) \]

流れ
EX2-3

\[g_{0}(x)=x^3-9x-9 \]

\[ g_0(x):minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0=Q(\omega) \]

流れ
EX2-4

\[Factorization \ of \ f(x) \ on \ F_0(v)\] \[\quad "maxima's \ function \ "\] \[\qquad factor(f(x),g_0(v))\]

流れ
EX2-5

\begin{align*} \alpha&=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+2 & \beta&=\frac{2 {{v}^{2}}}{3}-v-4\\ \gamma&=-\frac{{{v}^{2}}}{3}+v+2 & & \end{align*}

\begin{align*} v_{1}&=v & v_{2}&={{v}^{2}}-v-6\\ v_{3}&=-{{v}^{2}}+2 v+6 & v_{4}&=-{{v}^{2}}+v+6\\ v_{5}&={{v}^{2}}-2 v-6 & v_{6}&=-v \end{align*}

流れ
EX2-6

\begin{align*} &g_0(v_i)=0 \quad for \ (i=1,4,5) \\ &\qquad \qquad \Downarrow\ \\ &A_3: Galois \ group \ of \ F(x) \\ &\qquad composition \ series \quad A_3 \rhd \{e\} \end{align*}

流れ
EX2-7

\begin{align*} &g_1(x) : \ minimal \ polynomial \ of \ v\\ &g_{1}(x)=x-\frac{{{a}_{1}^{2}} \omega }{3}-\frac{2 {{a}_{1}^{2}}}{3}+{a_1} \in F_{1}[x] \\ \end{align*}

\begin{align*} \\ F_1=F_0(a_1) \quad Here \ B_1&={{a}_{1}^{3}}-3\omega +3 =0, \\ \Omega&=\omega^2+\omega+1=0 \end{align*}

流れ
EX2-8

\begin{align*} v=&\frac{{{a}_{1}^{2}} \omega }{3}+\frac{2 {{a}_{1}^{2}}}{3}-{a_1} \\ \\ \alpha=&\frac{{a_1} \omega }{3}-\frac{{{a}_{1}^{2}}}{3}+\frac{2 {a_1}}{3}\\ \beta=&-\frac{{{a}_{1}^{2}} \omega }{3}-\frac{2 {a_1} \omega }{3}-\frac{{a_1}}{3}\\ \gamma=&\frac{{{a}_{1}^{2}} \omega }{3}+\frac{{a_1} \omega }{3}+\frac{{{a}_{1}^{2}}}{3}-\frac{{a_1}}{3}\\ \\ Here &\quad B_1={{a}_{1}^{3}}-3\omega +3 =0,\\ &\quad \Omega=\omega^2+\omega+1=0 \end{align*}

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EX2-7 \(F_1/F_0\) の計算:最小多項式\(g_1(x)\)を求める(続き)

実際に \(\{ \ t_1^3, \ t_2^3 , \ t_1 \cdot t_2 \ \}\) を計算してみます。

\begin{align} \setCounter{56} t_1^3&=\frac{1}{27}\left(( 2v^2-3 v-12) \omega +v^2-3v-6 \right)^3 =3\omega -3 \quad \in F_0 \\ t_2^3&=\frac{1}{27}\left( ( 2v^2-3v-12) \omega + v^2-6 \right)^3 =-3\omega -6 \quad \in F_0 \\ \end{align}

\begin{align} \setCounter{59} &t_1 \cdot t_2=\frac{1}{9}\left( ( 2v^2-3 v-12) \omega +v^2-3v-6 \right) \left( ( 2v^2-3v-12) \omega + v^2-6 \right) \notag \\ \notag \\ &= -\frac{4 {{v}^{4}} {{\omega }^{2}}}{9}+\frac{4 {{v}^{3}} {{\omega }^{2}}}{3}+\frac{13 {{v}^{2}} {{\omega }^{2}}}{3} -8 v {{\omega }^{2}}-16 {{\omega }^{2}}-\frac{4 {{v}^{4}} \omega }{9} \notag \\ &+\frac{4 {{v}^{3}} \omega }{3}+\frac{13 {{v}^{2}} \omega }{3} -8 v \omega -16 \omega -\frac{{{v}^{4}}}{9}+\frac{{{v}^{3}}}{3}+\frac{4 {{v}^{2}}}{3}-2 v-4 = \ 3 \ \in F_0 \\ \end{align}

以上の計算は、\( (mod \ g_0(v)) \ (mod \ \varOmega) \) で剰余を取ることに注意してください。
ここ迄に、ガロア群\(A_3\)の同型写像による変換で、不変なものが幾つか得られたので整理します。
更に式(61)で \(t_1^3\) を \(A_1\) とします。

\begin{align} &t_1^3=3\omega -3 \equiv A_1 \qquad t_2^3=-3\omega -6 \qquad t_1 \cdot t_2=3 \\ \notag \\ &\therefore \quad \{ \ t_1^3, \ t_2^3, \ t_1t_2 \ \} \quad \in \ F_0 \end{align}

ここで、式(63)の2項方程式 \(B_1=0\) を考えます。今回は3次方程式となります。

\begin{align} &B_1=t_1^3-A_1=a_1^3-A_1 \qquad \therefore t_1=\sqrt[3]{A_1}\equiv a_1\\ \notag \\ & \tilde{t_1}=a_1 \quad \in F_0(a_1)=F_1\\ \end{align}

式(63)に示すように、\(\sqrt[3]{A_1}\) を \(a_1\) として、これを基礎体\(F_0\)に添加して、拡大体 \(F_0(a_1)=F_1\) を 構成します。また、\(a_1\)は\(F_1\)の数なので、\(t_1\) を \(t_1\) でなく、敢えて \(\tilde{t_1}\) と表現を 変えているのは、【apx2】と同様です。 但し【apx2】の時は、\(t_1\) を \(a_0\) を使って表現すれば十分でしたが、今回は、\(t_2\) も \(a_1\) を使って表現する必要があります。
その為に、式(61)(63)を使います。以下の式の変形をご覧ください

\begin{align} t_2=\frac{t_1 \cdot t_2}{t_1}=\frac{t_1^2\cdot (t_1t_2)}{t_1^2\cdot t_1} =\frac{t_1^2\cdot (t_1t_2)}{t_1^3}=\frac{a_1^2 \cdot (3)}{A_1} =\frac{3a_1^2}{A_1} \end{align}

式(65)の問題は \(t_2\) の分母に \(A_1\) がある事です。そこで \(A_1^{-1}\) を 式(66)の様に多項式と仮定し、係数\(\{d_0,d_1\}\) を式(67)の条件の下で求めます。

\begin{align} A_1^{-1} = & d_0+d_1\omega \\ \notag \\ A_1 \cdot A_1^{-1} = & (3\omega -3 ) \cdot (d_0+d_1\omega)=3d_1\omega^2-3(d_0+d_1)\omega-3d_0 \notag \\ =&(3d_0-6d_1)\omega-3d_1-3d_0=1 \quad (mod \ \varOmega) \\ \notag \\ \therefore \ [ \ d_0 =-\frac{2}{9} &\ , \ d_1=-\frac{1}{9} \ ] \quad \Rightarrow \quad A_1^{-1}=-\frac{2}{9}-\frac{\omega}{9} \\ \end{align}

以上の様に\(A_1^{-1}\) を求める事が出来ましたので、式(65)に\(A_1^{-1}\) を 代入すれば、\(t_2\) も \(\{\omega,a_1\}\) を使って以下の様に表現できるようになります。
ここで、\(\{t_0,t_1,t_2\}\) をまとめると以下の様になります。

\begin{align} t_0=x \qquad t_1=a_1 \qquad t_2=-\frac{a_1^2(\omega+2)}{3} \\ \end{align}

上記の様に、\(\{t_1,t_2\}\) は\(F_0(a_1)=F_1\)の数として表現できる事になるので、 今後チルダを付けて、\(\{\tilde{t_1},\tilde{t_2}\}\) と表記します。 こうして求められた \(\{ \ t_0, \tilde{t_1},\tilde{t_2}\}\) を使って、式(43)の逆変換である 式(45)に代入して計算する事により、以下の様に \(\{ \ \tilde{h_0}, \tilde{h_1},\tilde{h_2} \ \}\) を 求める事が出来ます。

\begin{align} \begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1} \\ \tilde{h_2} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&\omega^2&\omega\\ 1&\omega&\omega^2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \\ \tilde{t_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t_0+\tilde{t_1}+\tilde{t_2}\\ t_0+\omega^2 \tilde{t_1}+\omega \tilde{t_2}\\ t_0+\omega \tilde{t_1}+\omega^2 \tilde{t_2} \end{bmatrix} \notag \\ \notag \\ &= \begin{bmatrix} x+a_1-\frac{a_1^2(\omega+2)}{3} \\ x+a_1\omega^2-\frac{a_1^2\omega(\omega+2)}{3} \\ x+a_1\omega-\frac{a_1^2\omega^2(\omega+2)}{3} \end{bmatrix}\\ \end{align}

\(\{ \ h_0,h_1,h_2 \ \}\) は、式(42)で示す様に単拡大の世界 \(F(v)\) での多項式ですが、 \(a_1\) が添加された 拡大体 \(F_1=F_0(a_1)\) での世界では、 \(\{ \ \tilde{h_0},\tilde{h_1},\tilde{h_2} \ \} \) は、 式(70)の様に \(v\) を使わない多項式表現となりました。 また \(\tilde{h_0}\) はもともと\((x-v)\)を因子に持っていたので、 拡大体 \(F_1\) での \(v\) の最小多項式は \(g_1(x)=\tilde{h_0}\) となります。 この節の結論は以下の通りです。

\begin{align} &g_1(x)=x+a_1-\frac{a_1^2(\omega+2)}{3} \quad \in F_1[x]=F_0(a_1)[x]\\ \notag \\ &B_1=a_1^3-A_1=0 \qquad A_1= 3\omega-3 \qquad \therefore \ a_1=\sqrt[3]{A_1}\\ \end{align}


次ページに続く


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  1st upload: 2023/06/17
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