数学\(\mathtt{ VB } \ \)ガロア流方程式の解法技術
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1st upload: 2023/06/17
revision2 : 2023/07/27
revision3 : 2024/12/22
revision4 : 2025/09/14
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【2-3】 最小多項式 \(g_0(x) \equiv V(x)\) の導入
前節で導入された \(V(x)\) は最終的には「最小多項式」と呼ばれるものになります。まず、(3.1)の \(v_i\) に(2.3)を代入して展開します。
\begin{align} V(x)&\equiv \displaystyle \prod_{i=1}^6\sigma_i(x-v) =(x-v_{1})(x-v_{2})(x-v_{3})(x-v_{4})(x-v_{5})(x-v_{6}) \\ \notag \\ &= 36 {{\gamma }^{6}}+288 \beta {{\gamma }^{5}}+288 \alpha {{\gamma }^{5}}-132 x {{\gamma }^{5}}+863 {{\beta }^{2}} {{\gamma }^{4}}+1802 \alpha \beta {{\gamma }^{4}} \notag \\ &-828 x \beta {{\gamma }^{4}}+863 {{\alpha }^{2}} {{\gamma }^{4}}-828 x \alpha {{\gamma }^{4}}+193 {{x}^{2}} {{\gamma }^{4}}+1226 {{\beta }^{3}}{{\gamma }^{3}} \notag \\ & \qquad ......... \notag \\ &-828 x {{\alpha }^{4}} \beta +910 {{x}^{2}} {{\alpha }^{3}} \beta -480 {{x}^{3}} {{\alpha }^{2}} \beta +122 {{x}^{4}} \alpha \beta -12 {{x}^{5}} \beta \notag \\ &+36 {{\alpha }^{6}}-132 x {{\alpha }^{5}}+193 {{x}^{2}} {{\alpha }^{4}}-144 {{x}^{3}} {{\alpha }^{3}} +58 {{x}^{4}} {{\alpha }^{2}}-12 {{x}^{5}} \alpha +{{x}^{6}} \end{align}
[step1] \(V(x,\alpha,\beta,\gamma)\) を \(r_3(\gamma)\) で剰余する
\begin{align} &V(x,\alpha,\beta,\gamma)= r_3(\gamma) \cdot Q_1(x,\alpha,\beta,\gamma)+V_1(x,\alpha,\beta) \equiv V_1(x,\alpha,\beta) \qquad( \ \because \ r_3=0 \ ) \notag \\ \notag \\ &=-4 {{\beta }^{6}}-12 \alpha {{\beta }^{5}}+\left( 3 {{\alpha }^{2}}+9 {{x}^{2}}\right) {{\beta }^{4}}+\left( 26 {{\alpha }^{3}}+18 {{x}^{2}} \alpha \right) {{\beta }^{3}} +\left( 3 {{\alpha }^{4}} +27 {{x}^{2}} {{\alpha }^{2}}-6 {{x}^{4}}\right) {{\beta }^{2}} \notag \\ & +\left( -12 {{\alpha }^{5}}+18 {{x}^{2}} {{\alpha }^{3}}-6 {{x}^{4}} \alpha \right) \beta -4 {{\alpha }^{6}}+9 {{x}^{2}} {{\alpha }^{4}}-6 {{x}^{4}} {{\alpha }^{2}}+{{x}^{6}} \\ \end{align}
[step2] \(V_1(x,\alpha,\beta)\) を \(r_2(\beta)\) で剰余する
\begin{align} &V_1(x,\alpha,\beta)= \ r_2(\beta) \cdot Q_2(x,\alpha,\beta)+V_2(x,\alpha) \equiv V_2(x,\alpha) \qquad( \ \because \ r_2=0 \ ) \notag \\ \notag \\ &V_2(x,\alpha) =27 {{\alpha }^{6}}+162 {{\alpha }^{4}}+243 {{\alpha }^{2}}+{{x}^{6}}+18 {{x}^{4}}+81 {{x}^{2}}+108\\ \end{align}
[step3] \(V_2(x,\alpha)\) を \(r_1(\alpha)\) で剰余する
\begin{align} &V_2(x,\alpha)= \ r_1(\alpha) \cdot Q_3(x,\alpha)+V_3(x) \equiv V_3(x) \qquad( \ \because \ r_1=0 \ ) \notag \\ \notag \\ & V_3(x)={{x}^{6}}+18 {{x}^{4}}+81 {{x}^{2}}+135 \equiv V(x)\\ \end{align}
\begin{align} V(x,\alpha,\beta,\gamma) &\equiv V(x) \qquad (mod \ r_3(\gamma) ), (mod \ r_2(\beta)), (mod \ r_1(\alpha)) \notag \\ \notag \\ \ V(x)&={{x}^{6}}+18 {{x}^{4}}+81 {{x}^{2}}+135 \qquad \in \ F_0[x]\\ \end{align}
\([ r_3,r_2,r_1 ]\) の順番で剰余を取ってゆくだけで、\(V(x,\alpha,\beta,\gamma)\) が一気に \(F_0\)上の多項式になってしまうのは驚きです。因みに(3.1)(3.6)の \(V(x)\) は 「ガロア分解式」" Galois resolvent " と呼ばれています。
\(V(x)\) は \(v=v_1\) を根に持ち、かつ\(F_0\) 上で 既約なので \(v\) の最小多項式 \(g_0(x)\) と定義できます。
\begin{align} g_0(x)&:minimal \ polynomial \ of \ v \ on \ F_0 \notag \\ \notag \\ &V(x) \equiv g_0(x)= x^6+18x^4+81x^2+135 \\ \notag \\ &g_0(v)=v^6+18v^4+81x^2+135=0 \\ \end{align}
第１章と全く同様に、 3根 \(\{\alpha,\beta,\gamma\}\) を求めるためには、 \(V^{'}(x)\) の逆数 \(V^{'}(x)^{-1}\) が必要になるので、 予めその計算をしておきます。
\(V^{'}(v)^{-1}\) は単拡大 \(F_0(v)\) の元なので、\(F_0(v)\) の基底 \(\{1,v,v^2,v^3,v^4,v^5\}\) の線形結合で表現できるはずです。
そこで \(V^{'}(v)^{-1}\) を(3.10)で表現できると仮定します。後は、\(V(v)^{'} V^{'}(v)^{-1}=1\) という条件より、 係数\(\{c_0,c_1,c_2,c_3,c_4,c_5\}\) が満足する連立方程(3.12)を解けばよいことになります。
\begin{align} &V(x)=x^6+18x^4+81x^2+135 \quad \therefore V^{'}(v)=6v^5+72v^3+162v\\ \notag \\ &V^{'}(v)^{-1}=c_5v^5+c_4v^4+c_3v^3+c_2v^2+c_1v+c_0\\ &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} V(v)^{'} V^{'}(v)^{-1}&=(324c_4-36c_2+6c_0)v^5+(-3726c_5+324c_3-36c_1)v^4 \notag \\ &+(2106c_4-324c_2+72c_0)v^3+(-21384c_5+2106c_3-324c_1)v^2 \notag \\ &+(4860c_4-810c_2+162c_0)v-43740c_5+4860c_3-810c_1=1 \\ \notag \\ \end{align}
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} &v^5:324c_4-36c_2+6c_0=0 & &v^4:-3726c_5+324c_3-36c_1=0 \\ &v^3:2106c_4-324c_2+72c_0=0 & &v^2:-21384c_5+2106c_3-324c_1=0 \\ &v^1:4860c_4-810c_2+162c_0=0 & &v^0:-43740c_5+4860c_3-810c_1=1 \\ \end{array} \right.\\ \notag \\ &\qquad \qquad \Downarrow \notag \\ \notag \\ &\biggl[ \ c_5=\frac{1}{3645}, \ c_4=0, \ c_3=\frac{1}{243}, \ c_2=0, \ c_1=\frac{7}{810}, \ c_0=0 \ \biggr] \\ \notag \\ &\therefore \quad V^{'}(v)^{-1}=\frac{{{v}^{5}}}{3645}+\frac{{{v}^{3}}}{243}+\frac{7 v}{810}\\ \end{align}
以上で \(V^{'}(x)\) の逆数 \(V^{'}(x)^{-1}\) を求める事が出来ました。
（注意）(3.11)の計算では \(g_0(v)\) で剰余を取ることを忘れないでください。