ガロア理論による可解方程式の解法技術

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【2-13】 \(F_2/F_1\) の計算：最小多項式 \(g_2(x)\) を求める (2)

前節までに \(\{t_0, \tilde{t_1},\tilde{t_2}\}\) が求まったので、最終段階の計算に移ります。

Step3 ILRT(Inverse Lagrange Resolvent Transformation) \begin{align} &\begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1} \\ \tilde{h_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&\omega^2&(\omega^2)^2\\ 1&\omega&(\omega^2)\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \\ \tilde{t_2} \end{bmatrix} \ \Longrightarrow \ \left\{ \begin{array}{l} g_1(x)=\tilde{h_0}\cdot \tilde{h_1} \cdot \tilde{h_2} \ \in \ F_1[x] \\ g_2(x) \equiv \tilde{h_0} \ \in \ F_2[x] \end{array} \right. \\ \end{align}

(13.1)の逆変換ILRTを計算します。逆変換の結果はチルダを付けた \(\{ \ \tilde{h_0}, \tilde{h_1},\tilde{h_2} \ \}\) となります。

\begin{align} \begin{bmatrix} \tilde{h_0} \\ \tilde{h_1} \\ \tilde{h_2} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 1&\omega^2&\omega\\ 1&\omega&\omega^2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_0 \\ \tilde{t_1} \\ \tilde{t_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} t_0+\tilde{t_1}+\tilde{t_2}\\ t_0+\omega^2 \tilde{t_1}+\omega \tilde{t_2}\\ t_0+\omega \tilde{t_1}+\omega-2 \tilde{t_2} \end{bmatrix} \notag \\ \notag \\ &= \begin{bmatrix} x+a_2+a_2^2\left(-\frac{\omega }{3}+\frac{{a_1}}{18}-\frac{1}{6}\right) \\ x+a_2\omega^2+a_2^2\omega\left(-\frac{\omega }{3}+\frac{{a_1}}{18}-\frac{1}{6}\right) \\ x+a_2\omega+a_2^2\omega^2\left(-\frac{\omega}{3}+\frac{{a_1}}{18}-\frac{1}{6}\right) \end{bmatrix} \quad \in \ F_2[x] \\ \end{align}

\(\{ \ \tilde{h_0},\tilde{h_1},\tilde{h_2} \ \} \) は、すべて \(v\) を使わない多項式 \(F_2[x]\) とする事が出来ました。
また \(\tilde{h_0}\) はもともと\((x-v)\)を因子に持っていたので、拡大体 \(F_2\) での \(v\) の最小多項式は \(g_2(x)=\tilde{h_0}\) となります。そして、最小多項式 \(g_2(x)\) の次数が最終段階の1次式となったので \(v\) の値は \(g_2(x)\) の根となり、(13.4)となります。

\begin{align} &\tilde{h_0} \equiv g_2(x)=x+a_2+a_2^2\left(- \ \frac{\omega }{3}+\frac{{a_1}}{18}-\frac{1}{6}\right) \ \in F_2[x] \\ \notag \\ &g_2(x)=0 \quad \Rightarrow \quad v=-a_2+a_2^2\left(\ \frac{\omega }{3}-\frac{{a_1}}{18}+\frac{1}{6}\right) \ \in F_2 \\ \end{align}

【2-14】方程式の解

(13.4) の \(v\) を(14.1)に代入すれば、最終的に \(f(x)\) の根を求める事が出来ます。以下にその計算結果と今まで得られた式を列挙しておきます。

\begin{align} \alpha&=\frac{v^4+15v^2-9v+36}{18} & \beta&=-\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+36}{9} & \gamma&=\frac{{{v}^{4}}+15 {{v}^{2}}+9 v+36}{18} \\ \end{align}

\begin{align} &\alpha=\omega\left(-\frac{a_1a_2^2}{54}-\frac{a_2^2 }{6}+\frac{a_2}{3}\right)+\frac{{a_1} {{a}_{2}^{2}}}{54}-\frac{a_2^2}{6}+\frac{2a_2}{3}\\ &\beta=\omega\left(\frac{a_1a_2^2}{27}-\frac{2a_2}{3}\right)+\frac{a_1a_2^2}{54}+\frac{a_2^2}{6}-\frac{{a_2}}{3} \\ &\gamma=\omega\left(-\frac{a_1a_2^2}{54}+\frac{a_2^2}{6}+\frac{a_2}{3}\right)-\frac{a_1a_2^2}{27}-\frac{a_2}{3} \\ \end{align}

但し上の計算は\( (mod \ B_2) \rightarrow (mod \ B_1) \rightarrow (mod \ \varOmega) \) の順で剰余を取る事が重要です。
最後に今までの計算で求められた最小多項式、二項方程式などをまとめておきます。

\begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} B_1=a_1^2-A_1=0 \qquad A_1=-135 \qquad \quad a_1=\sqrt{A_1} \\ B_2=a_2^3-A_2=0 \qquad A_2=3\omega+\frac{a_1+3}{2} \quad a_2=\sqrt[3]{A_2}\\ \varOmega = \omega^2+ \omega +1 =0 \\ \end{array} \right. \\ \notag \\ &g_0(x)=(x-v_1)....(x-v_6)=x^6+18x^4+81x^2+135\\ \notag \\ &g_1(x)=(x-v_1)(x-v_4)(x-v_5)=x^3+9x+a_1\\ \notag \\ &g_2(x)=(x-v_1)=x+a_2^2\left(-\frac{\omega}{3}+\frac{a_1}{18}-\frac{1}{6}\right)+a_2 \\ \end{align}

以上がガロア理論を使って方程式を解く計算手順でした。

【2-15】求めた根の検証

(14.2)(14.3)(14.4)で方程式 \(f(x)\) の根は求められましたが、数値的にあっているかどうか確かめてみます。この計算には、代数計算ソフト"maxima"では、allroots()という命令があります。これを使って数値計算をしてみます。 \(\omega \rightarrow a_1 \rightarrow a_2\) の順で計算してゆきます。

\(rw:allroots(\varOmega);\) と入力すると
\(rw=\left[ \ \omega =0.8660254037844386 \% i-0.5, \ \omega =-0.8660254037844386 \% i-0.5 \ \right]\)
とリスト出力されるので、\(\omega=0.8660254037844386 \% i-0.5\) とします。

\(ra_1:allroots(B_1);\) と入力すると
\(ra_1= \left[ a_1=11.61895003862225 \% i, \ a_1=-11.61895003862225 \% i\right] \)
とリスト出力されるので、\(a_1=11.61895003862225 \% i\) とします。

\(\omega\) と \(a_1\) の値が求まったので、この値を(14.5) の \(B_2\) に入力します。すると \(B_2=a_2^3-5.809475019311125 \% i-3 \left( 0.8660254037844386 \% i-0.5\right) -1.5\)
となります。この\(B_2\) を使って、

\(ra_2:allroots(B_2);\) と入力すると
\(ra_2=[ \ a_2=1.016700830808605\%i+1.760977495057993,\)
　　　\(a_2=1.016700830808605\%i-1.760977495057993,\)
　　　\(a_2=-2.03340166161721\%i \ ]\) と出力されるので
\(a_2=1.016700830808605\%i+1.760977495057993\)とします。

以上で \(\{ \ \omega, \ a_1, \ a_2 \ \}\) の数値が決まりました。この値を (14.2)～(14.4) に代入すると以下の3根が得られます。
　 \(\alpha=0.1610926773130429+1.754380959783721\%i\)
　 \(\beta=0.1610926773130429-1.754380959783722\%i\)
　 \(\gamma=-0.3221853546260854+6.579099405186113 \times 10^{-17}\%i \)

これとは全く別に \(f(x)\) の根を同様に数値的に求めてみます。
\(abc:allroots(f(x));\) と入力すると
\(abc=[ \ x=-0.3221853546260856,\)
　　　　\( x=0.1610926773130428+1.754380959783722\%i,\)
　　　　\(x=0.1610926773130428-1.754380959783722\%i \ ]\) と出力されます。

以上最終結果を比べると順不同ですが、数値的小数点以下15桁までは等しい事が判ります。
従って今まで長々と計算してきた結果は正しいと数値的にも確認できました。

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【2-13】 \(F_2/F_1\) の計算：最小多項式 \(g_2(x)\) を求める (2)

【2-14】 方程式の解

【2-15】 求めた根の検証

【2-14】方程式の解

【2-15】求めた根の検証